Polynom vom Grad 3

22.04.2007, 11:11	Helli	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom vom Grad 3 Ich soll mit Hilfe des Additonstheorems zeigen , dass der Ausdruck cos(3 arccos(x)) mit -1<x<1 ein Polynom vom grad 3 ist , und dieses polynom soll ich angeben. Ich hab arccos(x) substituiert also a = arccos(x) und dann einfach mit hilfe der additionstheoreme cos(3a) bestimmt dabei bin ich auf cos(3a)=4cos³(a) - 3 cos(a) gekommen . kann ich nun einfach a wieder ersetzen ? und ist das dann auch die lösung der aufgabe ? Weil ein polynom vom grad 3 habe ich ja nun wäre schön wenn mir jemand helfen könnte mfg
22.04.2007, 11:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom vom Grad 3 Schau mal unter "Tschebyscheff-Polynom" nach. Allgemein lauten die: $\begin{eqnarray} T_n(x):=\cos(~n\cdot \arccos(x)~) \end{eqnarray}$
22.04.2007, 11:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom vom Grad 3 Mit den Additionstheoremen kannst Du deren Drei-Term Rekursion nachweisen. Dann die ersten beiden berechnen und der Rest ergibt sich. $\begin{eqnarray} T_{n+1}(x) = 2x\cdot T_n(x) - T_{n-1}(x) \end{eqnarray}$
22.04.2007, 11:39	Helli	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für den tip allerdings haben wir das Tschebyscheff-Polynom in der vorlesung nicht gesprochen gibts es keinen anderen lösungsweg ? mfg
22.04.2007, 12:37	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dein Ansatz ist vollkommen richtig, Helli. Es gilt $\begin{eqnarray} \cos(3z) = 4\cos^3 z -3\cos z \end{eqnarray}$ . Setze nun $\begin{eqnarray} z=\arccos(x) \end{eqnarray}$ und beachte $\begin{eqnarray} \cos(\arccos(x))=x \end{eqnarray}$ . Fertig. Gruß, therisen
23.04.2007, 13:31	Helli	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank
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