Stetigkeit von Funktion in mehreren Variablen

22.04.2007, 14:27

gibson

Stetigkeit von Funktion in mehreren Variablen

Hi!
Ich habe eine Aufgabe gerechnet und weiß nicht, ob ichs ganz richtig gemacht hab. Hier mal mein Rechenweg:

Untersuchen Sie, an welchen Stellen die folgende Funktion stetig ist, wobei $\begin{eqnarray*} f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x,c\cdot x) = \frac{x^2c^2}{1+c^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2c^2}{1+c^2} = \frac{0}{1+c^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Nun, jetzt weiß ich, dass die Funktion im Punkt 0 stetig ist, aber wie gehts jetzt weiter??

lg,
gibson

22.04.2007, 15:46

system-agent

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für den fall $\begin{eqnarray*} f:\,\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibts den satz über die komposition stetiger funktionen, der besagt, dass ebendiese kompositionen wieder stetig sind. gibts da vielleicht was für mehrdimensionales?

22.04.2007, 16:55

gibson

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meinst du dieses epsilon-verfahren?
inwiefern ist meine rechnung richtig?

22.04.2007, 18:09

Marcyman

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Deine Rechnung oben zeigt nur, dass der Grenzwert der Funktion entlang der Kurve von x*c 0 ist, sagt aber nichts über die Stetigkeit an dieser Stelle aus. Da musst du dir was anderes einfallen lassen (z.B. Transformation auf Polarkoordinaten). Außerhalb der 0 gibts den von system-agent angesprochenen Satz: Kompositionen in x_0 stetiger Funktionen sind in x_0 stetig.

22.04.2007, 23:49

gibson

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ich kann mir unter dem Begriff "Kompositionen" bei Funktionen nicht wirklich was vorstellen.
Gibts dazu nicht ein allgemeines verfahren oder so? Oder irgend einen Namen?

23.04.2007, 00:09

Abakus

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Siehe hier: Komposition.

Ansonsten hat Marcyman recht, bisher zeigst du nur die Stetigkeit entlang spezieller Geraden (was hier nicht ausreicht).

Grüße Abakus smile

23.04.2007, 00:42

gibson

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ok, versuch 2 (is jez eine andere Rechnung):

Untersuchen Sie, an welchen Stellen die folgende Funktion stetig ist, wobei $\begin{eqnarray*} f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Umwandlung in Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} f(r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) = \frac{(r\cdot cos(t))^2-(r\cdot sin(t))^2}{r\cdot cos(t))^2+(r\cdot sin(t))^2} = 2\cdot cos^2(t) -1 \end{eqnarray*}$

Nun, da ich weiß das der $\begin{eqnarray*} 2\cdot cos^2(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ stetig sind, kann ich sagen, $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist stetig!?

23.04.2007, 03:48

Marcyman

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Das geht leider nicht. Du willst auch hier den Satz über die Komposition stetiger Funktionen ausnutzen. Das Problem ist, dass f im Ursprung gar nicht stetig ist. Das siehst du sofot indem du mal mit ein paar gegen (0,0) laufende Zahlenfolgen rumspielst.

23.04.2007, 09:47

gibson

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ok, dann werd ich mir dazu noch was überlegen und wenn ich mir sicher bin, poste ich nochmal einen lösungsvorschlag.
Kurze andere Frage zu Funktionen in mehreren Variablen:
Grenzwertbildung geht gleich wie bei Funktionen mit einer variable?
also zB:
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} x*y = 0*0 = 0 \end{eqnarray*}$

oder funktioniert das auch anderes??
Könnte man L'hospital ganz normal anwenden?

lg,
gibson

23.04.2007, 10:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von gibson
Grenzwertbildung geht gleich wie bei Funktionen mit einer variable?
also zB:
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} x*y = 0*0 = 0 \end{eqnarray*}$

Das geht so, wenn die Funktion stetig ist.

Zitat:

Original von gibson
Könnte man L'hospital ganz normal anwenden?

Das dürfte problematisch sein, da du dann vermutlich eine Variable festhältst und die andere differenzierst. Am besten schaust du dir nochmal die Definition für den Grenzwert mit mehreren Variablen an.

23.04.2007, 13:28

gibson

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ja, das problem ist, dass dies in meinem skript nicht (oder nicht ausführlich genug) erklärt wird. Hab auch schon das halbe Internet nach guten Erklärungen oder Beispielrechnungen durchforstet und hab nix gescheites gefunden.
Kennt ihr da ein paar gute Seiten? Mir würd schon reichen, wenn da ein paar Beispielrechnungen angeführt sind, damit ich das ganze einmal gut durchblicke & versteh.

lg,
gibson

23.04.2007, 19:56

gibson

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weiß niemand was?? unglücklich

23.04.2007, 21:00

gibson

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so ich hab das ganze nochmal überdacht und bin auf folgenden Lösungsweg gekommen:
Untersuchen Sie, an welchen Stellen die folgende Funktion stetig ist, wobei $\begin{eqnarray*} f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Da Zusammensetzung aus elementaren Funktionen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Funktion ist in $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ stetig.
Probleme gibts jedoch beim Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ , da hier der Nenner $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wird.
es gilt nun zu zeigen, ob $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \end{eqnarray*}$ existiert und ob dieser Wert dann gleich $\begin{eqnarray*} f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Dazu: Umwandlung in Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} f(r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) = \frac{(r\cdot cos(t))^2-(r\cdot sin(t))^2}{r\cdot cos(t))^2+(r\cdot sin(t))^2} = 2\cdot cos^2(t) -1 \end{eqnarray*}$

Naja, daraus ist ersichtlich, dass die Funktion nicht mehr vom Radius, sondern nur vom Winkel (hier $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ) abhängt. Hier kann man schon vermuten, dass die Funktion in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ unstetig ist. Da die Mathematiker aber ganz genaue Leute sind, hier ein "Beweis":
Beim Grenzwert von der Funktion muss man beachten, dass dieser nicht vom Weg abhängt und zwar jener Weg auf dem die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ gegen einen Wert strebt. Also ich versuch das ganze mal mit Nullfolgen:
1. Weg: $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n} , y_n = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n},0) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f(x_n,y_n) = 1 \end{eqnarray*}$

2. Weg: $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n} , y_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n},\frac{1}{n}) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f(x_n,y_n) = 0 \end{eqnarray*}$

Es lässt sich keine stetige Ergänzung vornehmen.
D.h. $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist nicht stetig!!!!!!!!!!!!!!!

Jetzt bin ich auf eine Antwort gespannt, ob das ganze stimmt, oder totaler Mist ist!!
lg,
gibson

23.04.2007, 21:59

Marcyman

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