zahlentheorie

22.04.2007, 15:27

zahl

zahlentheorie

Hallo Leute,
helft mir bitte folgende Abschätzung zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \prod_{p\leq x}~(1-p^{-1})^{-1} \leq \pi (x) + 1 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \pi (x) \end{eqnarray*}$ ist definiert als die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x.

hab versucht den Term umzuformen, komm aber nicht weiter...

$\begin{eqnarray*} \prod_{p\leq x}~(1-p^{-1})^{-1} = \prod_{p\leq x}~(\frac{1}{1 - \frac{1}{p} }) = \prod_{p\leq x}~(\frac{p}{p-1} ) = ... \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus!

22.04.2007, 15:34

sqrt4

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Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{p})^k \end{eqnarray*}$

Edit: ka ob dir das was hilft.

22.04.2007, 15:40

zahl

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Zitat:

Original von sqrt4
Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{p})^k \end{eqnarray*}$

Edit: ka ob dir das was hilft.

Danke! ja ich weiß, dass diese Gleichheit auch gilt......kann aber leider damit nichts anfangen...

22.04.2007, 15:42

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Der Beweis ist an sich ziemlich einfach: Numerieren wir einfach mal die Primzahlen der Reihe nach, also

$\begin{eqnarray*} p_1=2,\quad p_2=3,\quad p_3=5,\quad p_4=7,\quad p_5=11,\quad \ldots \end{eqnarray*}$

Dann kann man ziemlich einfach $\begin{eqnarray*} p_n\geq n+1 \end{eqnarray*}$ nachweisen und damit dann abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \prod_{p\leq x} ~ \left( 1-p^{-1} \right)^{-1} = \prod_{n=1}^{\pi(x)} ~ \left( 1-p_n^{-1} \right)^{-1} \leq \prod_{n=1}^{\pi(x)} ~ \left( 1-(n+1)^{-1} \right)^{-1} = \prod_{n=1}^{\pi(x)} ~ \frac{n+1}{n} = \pi(x)+1 \end{eqnarray*}$

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