Menge: Supremum bestimmen |
| 08.12.2004, 14:32 | braindeadt | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Menge: Supremum bestimmen X = {|1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] : x,y element R, x <> y} Zu bestimmen sind Supremum, Infimum, Maximum und Minimum Ich habe einige Probleme den Lösungsweg nachzuvollziehen, deshalb schreibe ich ihn mal auf und an den stellen die mir unklar sind werde ich darauf hinweisen. Behauptung: sup X = 1 Beweis: Es genügt |x| < |y| zu betrachten (sonst vertausche x und y). Somit gilt |y| > 0 <==> y² > 0 und mittels Dreiecksungleichung erhält man |1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] <= (1 + |x||y|) / [(1 + x²)(1 + y²)] < (1 + y²) / [(1 + x²)(1 + y²)] = 1 / (1 + x²) <= 1 Somit ist 1 obere Schranke von X (bis hierhin ist alles klar) Ist s' < 1, so ist für x = 0 (hier habe ich ein Problem es nachzuvollziehen, s' soll hier doch sicher eine weitere Obere Schranke sein welche kleiner als 1 ist, mit dieser Methode soll doch sicher ein widerspruch erzeugt werden damit klar ist das 1 das Sup X ist oder ?) |1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] = 1 / (1 + y²) > s' <==> y² < 1/s' - 1 ==> y < (1/s' - 1)^(1/2) wobei 1/s' - 1 > 0 Somit ist sup X = 1 Ok, was ich nicht verstehe: 1.) wenn s' eine mögliche weitere obere Schranke ist welche kleiner sein soll als die als SupX angenommene Obere Schranke 1 müsste man dann nicht eher diese Aussage: |1 - xy| / [(1 + x²)(1 + y²)] <= s' zu einem Widerspruch führen um zu beweisen das 1 das SupX ist ? 2.) Ich verstehe den 2ten schritt (der mit dem s') so: Es wird versucht zu beweisen das es mind. ein paar x,y gibt welches über s' liegt ? hmm ich glaube ich habe es verstanden wenn ich beweisen will das nicht alle x <= s' sind bzw. wenn ich die aussage alle x sind kleinergleich s' zum wiederspruch führen will, dann kann ich auch beweisen das es mind. 1 x > s' gibt oder ? Wenn das stimmt dann habe ich es verstanden, es wird im 2ten schritte bewiesen das es ein Wertepaar x,y gibt nämlich x=0 und y mit 0 < y < (1/s' - 1)^(1/2) für welche die Elemente der Menge über s' liegen und damit ist bewiesen das s' keine obere Schranke ist. |
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| 08.12.2004, 18:44 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
an sich hast du schon alle notwendigen Erklärungen gegeben. Zuerst wird gezeigt das 1 obere Schranke ist. Der 2 Schritt sagt: Für alle s' < 1 kann man ein paar (x,y) angeben so dass das zugehörige Element in X größer als s' ist. Wenn man das gezeigt ist, kann s' keine obere Schranke sein. Damit folgt dann, 1 ist die kleinste obere Schranke und damit sup(X) Die Aussage die du unter 1.) geschrieben hast, wird zum Widerspruch geführt, indem man (x,y) angibt, die die Ungleichung nicht erfüllen. |
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