Differentiation und Integration in Matrizendarstellung

22.04.2007, 16:14

oerny

Differentiation und Integration in Matrizendarstellung

Hi,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen und leider überhaupt keine Idee was ich tun soll bzw. wie ich sie lösen soll Hammer

. Hoff Ihr könnt mir helfen:
Also:
Die folgenden linearen Abbildungen sind zu betrachten:
$\begin{eqnarray*} D: \Pi_{n} \rightarrow \Pi_{n-1}, (Dp)(t) := p'(t) \end{eqnarray*}$ (Differentiation)
$\begin{eqnarray*} I: \Pi_{n-1} \rightarrow \Pi_{n}, (Ip)(t) := \int_{0}^{t} p(r) dr \end{eqnarray*}$ (Integration)

$\begin{eqnarray*} \Pi_m \end{eqnarray*}$ ist der Vektorraum der Polynome vom Grad m.
Bestimmen sie die Matrixendarstellung AD und AI dieser lin. Abb. bzgl. der Standardbasen $\begin{eqnarray*} 1,t,...,t^n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \Pi_{n} \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} 1,t,...,t^{n-1} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \Pi_{n-1} \end{eqnarray*}$
Überprüfe das Ergebnis mit einem einfachen Bsp.

22.04.2007, 16:24

therisen

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Zunächst einmal setzt du der Reihe nach die Elemente deiner Basis (also $\begin{eqnarray*} 1,t,\dots, t^n \text{ bzw. } t^{n-1} \end{eqnarray*}$ ) in die beiden Abbildungen ein und berechnest das Ergebnis. Poste dein Ergebnis hier rein.

Gruß, therisen

22.04.2007, 17:44

Leopold

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RE: Differentiation und Integration in Matrixendarstellung

Zitat:

Original von oerny
$\begin{eqnarray*} \Pi_m \end{eqnarray*}$ ist der Vektorraum der Polynome vom Grad m.

Diese Polynome bilden überhaupt keinen Vektorraum. Da fehlt ein entscheidendes "kleiner oder gleich". Mathematik ist die Wissenschaft der Genauigkeit.

22.04.2007, 17:57

oerny

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RE: Differentiation und Integration in Matrixendarstellung
an therisen:
also ich setz das jetztmal ein, bin aber nicht sicher ob ich das mache was du meinst
Differentation
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&... &...\\ 0 & 1 & 0&...&... \\ 0 & 0 & 1 &...&... \\ ...&...&...&...&... \\ 0&0&0&...&n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann ergibt sich also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0&... &...\\ 1 & 0 & 0&...&... \\ 0 & 1 & 0 &...&... \\ ...&...&...&...&... \\ 0&0&0&...&n-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und bei der Integration
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0&... &...\\ 1 & 0 & 0&...&... \\ 0 & 1 & 0 &...&... \\ ...&...&...&...&... \\ 0&0&0&...&n-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0&... &...\\ 1 & 0 & 0&...&... \\ 0 & 1 & 0 &...&... \\ ...&...&...&...&... \\ 0&0&0&...&n-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
also gerade umgekehrt das ganze

an Leopold:

Zitat:

Original von Leopold
Diese Polynome bilden überhaupt keinen Vektorraum. Da fehlt ein entscheidendes "kleiner oder gleich". Mathematik ist die Wissenschaft der Genauigkeit.

steht GENAU so auf dem Aufgabenzettel...was soll ich dazu sagen...wenns falsch ist, liegts vermutlich nicht an mir, aber mich würde interessieren warum das hin muss!

22.04.2007, 18:16

therisen

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Das ist deshalb falsch, weil für $\begin{eqnarray*} m\geq 1 \end{eqnarray*}$ wäre das Nullpolynom nicht mehr enthalten (kein neutrales Element, keine abelsche Gruppe, kein Vektorraum).

Bei dir erhöht sich ja der Grad eines Polynoms bei der Differentiation!!

Ich meinte eher, dass du das erst mal so berechnest:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{D}1 &= \\ \operatorname{D}X &=\\ \operatorname{D}X^2 &= \\ &\vdots \end{eqnarray*}$

Beachte, dass ich das etwas anders geschrieben habe (Differentialoperator).

Gruß, therisen

22.04.2007, 18:44

oerny

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Also müsste das zb heißen für alle m keliner oder gleich x und x element aus R

warum erhöht sich der grad, dann hab ich das vermutlich flasch in die matrix eingetragen.....
dann eben mal anders:
$\begin{eqnarray*} D1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} DX = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} DX² = 2x \end{eqnarray*}$
.
.
$\begin{eqnarray*} Dx^n=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

das müsste ja soweit stimmen und für die Integration
$\begin{eqnarray*} I1 = x+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IX = \frac{1}{2}x^2+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IX² = \frac{1}{3}x^3+c \end{eqnarray*}$
.
.
$\begin{eqnarray*} Ix^n=\frac{1}{n}x^{n+1}+c \end{eqnarray*}$
wobei hier c egal sein dürft denke ich oder?

(hoffe das ganze passt nun so wies ist)

22.04.2007, 19:03

therisen

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Es gibt keine Integrationskonstante, da es sich um ein bestimmtes Integral handelt (hier ist $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ).

Es ist also $\begin{eqnarray*} \operatorname{D1}=0\cdot 1 + 0\cdot X + \dots + 0\cdot X^n \end{eqnarray*}$ , also lautet die erste Spalte in deiner Matrix $\begin{eqnarray*} (0,\dots, 0)^T \end{eqnarray*}$ (transponieren!). Die zweite Spalte ist $\begin{eqnarray*} (1,0,\dots, 0)^T \end{eqnarray*}$ . Kannst du mir die restlichen Spalten nennen?

22.04.2007, 19:18

oerny

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naja dann muss ich die matrixen von voher nur transponieren, da ich die "ableitungen" in eziolen geschreiben habe
die nächste spalte wäre dann:
$\begin{eqnarray*} (0,2,0,.....,0)^T \end{eqnarray*}$
die letzte $\begin{eqnarray*} (0,0,0,.....,n,0)^T \end{eqnarray*}$
oder?

22.04.2007, 19:28

therisen

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Genau.

22.04.2007, 20:01

oerny

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und nun??

und warum muss ich die ich sag jetzt mal gleichungen bzw vorfaktoren in spalten und nicht in zeilen schreiben?

22.04.2007, 20:14

therisen

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Das ist eine gute Frage (die auch gerne in einer mündlichen Prüfung gestellt wird). Die Antwort lautet: Es ist eine Frage der Definition. Beide Varianten sind möglich, aber "moderner" ist die mit den Spalten (vgl. z.B. G. Fischer). Schau also mal nach, wie ihr das definiert habt.

Das Gleiche machst du jetzt noch für den Integrationsoperator und dann bist du fertig.

Gruß, therisen

22.04.2007, 20:23

oerny

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also könnte ich es auch theoretisch in zeilen schreiben, soweit ich mich erinnere haben wir das mal irgendwann so definiert (bzw genau gemacht hat das keiner) aber zeilen wäre für mich logischer auch wegen den gleichungssystemen, weil da haben wirs sicher so gemacht.

also muss ich jetzt einfach die vektoren die ich oben aufgestllt hab in Zeilen/Spalten schreiben und dann hab ich die gesuchte Matrix?

Dann müsste ich für das einfache Beispiel zum Beispiel einfach x² nehmen und dann hätte ich den vektor $\begin{eqnarray*} (0,0,1,...,n) \end{eqnarray*}$ und den mit der Matrix mutliplizerenen und dann halt $\begin{eqnarray*} (0,2,0,....,0) \end{eqnarray*}$ rausbekommen ?

22.04.2007, 21:08

therisen

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Zitat:

Original von oerny
Dann müsste ich für das einfache Beispiel zum Beispiel einfach x² nehmen und dann hätte ich den vektor $\begin{eqnarray*} (0,0,1,...,n) \end{eqnarray*}$ und den mit der Matrix mutliplizerenen und dann halt $\begin{eqnarray*} (0,2,0,....,0) \end{eqnarray*}$ rausbekommen ?

Ich verstehe leider kein Wort von dem was du schreibst. Bist du Physiker? Die drücken sich auch so wirr aus Big Laugh

Ich finde die Version mit den Spalten logischer, denn die Darstellungsmatrix der Komposition zweier linearer Abbildungen entspricht dann der Matrizenmultiplikation der beiden Darstellungsmatrizen.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f, g:~\mathbb R_1[X] \to \mathbb R_1[X],\quad f(1)=2+7X, ~f(X)=9+X,\quad g(1)=3+X,~ g(X)=2+3X \end{eqnarray*}$ .

Dann haben wir für f die Darstellungsmatrix (alles bezgl. Standardbasis)

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und für g haben wir

$\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(beides ist die Spaltenversion)

Dann ist die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} A\cdot B= \begin{pmatrix} 15 & 31 \\ 22 & 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit der Zeilenversion hätte man für f

$\begin{eqnarray*} A'= \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und für g

$\begin{eqnarray*} B'= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2& 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} A'\cdot B'= \begin{pmatrix} 20 & 23 \\ 29 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also etwas völlig anderes!

Richtig wäre dagegen $\begin{eqnarray*} B'\cdot A' = \begin{pmatrix} 15 & 31 \\ 22 & 17 \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$ (also wieder deine Zeilenversion).

Wenn du die Version mit den Zeilen logisch findest, dann zählst du wohl auch rückwärts? Big Laugh

Denn du musst ja die Matrizen "rückwärts" multiplizieren.

Gruß, therisen

22.04.2007, 21:25

oerny

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also das mit dem physiker ist erstmal nicht so ganz verkehrt (studiere m und ph auf lehramt)...

also nehm ich doch die spaltenform hast mich überzeugt!
Nur eine Frage bleibt für mich, was genau die Darstellungsmatrix insgesamt, ist das jende matrix auf die ich einen vektor multiplitziere um diesen abzubilden? und warum machst du in dem bsp $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ was genau nützt das mir
(ich merk schon die linearen abbildungen wurden nie richtig durchgenommen und/oder ich habs nie richtig vestanden, hoffe mein seit 2wochen bestelltes buch kommt bald!!!)

Aber wie mach ich das dann mit dem Beispiel zum überprüfen, könntest du evtl . mal die Differentations-Matrix und das Bsp dazu kurz "skizzieren" dann kann ich da mal drüber nachdenken (tu mich da viel leichter wenn ich was konkretes hab) und mich dann an der integration versuchen.

22.04.2007, 21:41

therisen

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Wir haben für die Matrix des Differentialoperators

$\begin{eqnarray*} M_e^e(\operatorname{D}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & 0 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

23.04.2007, 12:09

oerny

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also ich bin das gerade nochmal durchgegangen und komem auf folgendes, was auch mit einem bsp funktioniert:

Matrix der Differentation A' und der Integration A''
$\begin{eqnarray*} A'= \begin{pmatrix} 0 & 1&0 & ...&0 \\ 0 & 0 & 2&...&0 \\ . & . & .&.&. \\0&0&0&0&n \\0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \hspace{4em} A'' = \begin{pmatrix} 0&0&0&0&\\1&0 & ...&0 &0 \\ 0 & \frac{1}{2} &0&...&0 \\ . & . & .&.&. \\0&0&0&0&\frac{1}{n+1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun zu den Beispielen:
Differentation: für $\begin{eqnarray*} n\le2 =\{0,1,2\} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 3 Elemente
$\begin{eqnarray*} f(t)=2t+t^2 \end{eqnarray*}$ also ergibt sich der Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nun muss ich um die Ableitung zu erhalten
$\begin{eqnarray*} A' * \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ rechnen, dabei erhalte ich dann den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f'(t)=2+2t \end{eqnarray*}$ was zu stimmen scheint

Integration: für $\begin{eqnarray*} n\le2 \end{eqnarray*}$
ich nehme die gleiche Funktion wie oben also ergibt sich dann:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0& 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} F(t) = t*\frac{1}{3}t^3 \end{eqnarray*}$ was wie ich finde ebenfalls gut aussieht.

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