Herleitung Varianz bei hypergeom. Vert´.

08.12.2004, 14:57

Charlyyyy

Herleitung Varianz bei hypergeom. Vert´.

Hallo ihr Lieben!!

Ich muss die Formel für die Varianz bei hypergeometrischen Verteilungen herleiten...
Kann mir da jemand vielleicht nen Ansatz geben?? Hab keinen Plan, wie ich des anpacken soll...
danke schonmal im Vorraus!!!!

Charly

08.12.2004, 15:06

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RE: Herleitung Varianz bei hypergeom. Vert´.
Der Ansatz ist nicht das Schlimmste - das Schlimmste ist dann die Vereinfachung der Formeln. Big Laugh

Ok, zum Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \textrm{var}X=\mathbb{E}X^2-\left(\mathbb{E}X\right)^2\quad\mbox{mit}\quad \mathbb{E}X^2=\sum\limits_k k^2\cdot p_k \end{eqnarray*}$ ,

wobei p_k die Einzelwahrscheinlichkeiten deiner hypergeometrischen Verteilung sind.
Ich gehe mal davon aus, dass du den Erwartungswert schon hast - ansonsten:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}X=\sum\limits_k k\cdot p_k \end{eqnarray*}$ ,

08.12.2004, 17:02

Charlyyyy

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danke erstmal....
... aber irgendwie kann ich das nicht nachvollziehen unglücklich

definiert ist die Varianz ja über
$\begin{eqnarray*} V(X)= \sum_{k=0}^n~(x_i - E(X))^2 * p_i \end{eqnarray*}$
.. aber egal, wie ich das jetzt versuche umzuformen, komme ich nicht auf deinen Ansatz....
oder hab ich da jetzt schon nen denkfehler drin und man kommt da ganz anders drauf??

Zitat:

Der Ansatz ist nicht das Schlimmste - das Schlimmste ist dann die Vereinfachung der Formeln.

..... na prost mahlzeit......

Charly *frustrated*

08.12.2004, 17:12

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Doch, das ist schon dasselbe, wenn du das nach binomischer Formel (a-b)²=a²-2ab+b² ausmultipliziert und beachtest, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{i}~x_ip_i=\mathbb{E}(X) \end{eqnarray*}$

gilt. Die x_i sind bei der hypergeometrischen Verteilung positive ganze Zahlen, in meiner Formel ist eben x_i=i (und ich habe Index k statt i benutzt).

EDIT: Eben erst sehe ich

Zitat:

Original von Charlyyyy
$\begin{eqnarray*} V(X)= \sum_{k=0}^n~(x_i - E(X))^2 * p_i \end{eqnarray*}$

Der Summenindex ergibt keinerlei Sinn. Du meinst sicher

$\begin{eqnarray*} V(X)= \sum_{i=1}^n~(x_i - E(X))^2 * p_i \end{eqnarray*}$

bei n Werten x_1, ... , x_n mit Wkt'en p_1, ... , p_n.

08.12.2004, 17:56

Charlyyyy

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mh, das kommt bei mir immernoch nicht hin... unglücklich

aber ich glaub dir jetzt einfach mal...
nur eins noch:
$\begin{eqnarray*} E(X^2)=x_i^2 p_i \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} E(X^2)=x_i^2 p_i^2 \end{eqnarray*}$
???????????
oder was ganz anderes??

Charly..

08.12.2004, 18:06

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$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2)=\sum_{i}~x_i^2\cdot p_i \end{eqnarray*}$

Allgemeiner, für eine beliebige Funktion g:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(g(X))=\sum_{i}~g(x_i)\cdot p_i \end{eqnarray*}$

09.12.2004, 14:15

Charlyyyy

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dankeschön!!
krieg des alles trotzdem ned hin, bin da zu doof zu.....
jetzt hat hier wahrscheinlich auch keiner die lust und die muße, mir die gesamte herleitung aufzuschreiben, aber vielleicht kennt irgendwer nen entsprechenden link oder auch ein buch, wo der gesamte beweis drin steht???!!!!
wär echt prima.....
danke schonmal im voraus!!!
Charly..

09.12.2004, 17:43

Leopold

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Ich habe einmal in meinen "Unterlagen" gekramt und das Folgende gefunden.

11.12.2004, 11:46

Charlyyyy

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danke danke dankeeeeeeee
man, ihr seid echt zu genial!!!!!!!!!!
ihr habt mir grad das leben gerettet!!!!!!!!
jetzt müsste ich des eigentlich verstehen!!!!

also, wie auch immer dankeeee!!

Charly Rock

*freuuuuu*

12.12.2004, 15:03

Charlyyyy

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zu früh gefreut..... bin echt zu doof....
was bedeutet denn die Schreibweise $\begin{eqnarray*} (S)_k \end{eqnarray*}$ ????? kann damit irgendwie nix anfangen... unglücklich

Charly

12.12.2004, 15:13

Leopold

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Das ist im Text erklärt!

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