Möbiustransformation und Doppelverhältnis

22.04.2007, 18:02

vektorraum

Möbiustransformation und Doppelverhältnis

Hi!

Wir haben folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray*} z_1,z_2,z_3,z_4\in \mathbb C_0 \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden. Dann heißt der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} DV(z_1,z_2,z_3,z_4):=\cfrac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\cdot\cfrac{z_2-z_4}{z_2-z_3} \end{eqnarray*}$

das Doppelverhältnis dieser Punkte. Ich habe bereits gezeigt, dass wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Möbistranformation mit $\begin{eqnarray*} M(z_2)=1,~M(z_3)=0,~M(z_4)=\infty \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} DV(z_1,z_2,z_3,z_4)=M(z_1) \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist gezeigt, dass das DV von jeder MT invariant gelassen wird.

Nun müssen wir noch zeigen, dass das DV genau dann reell ist, wenn die vier Punkte auf einem verallgemeinerten Kreis liegen. Als Hinweis ist gegeben der Satz über die Winkel im Kreisviereck.

Leider weiß ich gar nicht wie ich hier rangehen könnte... Den Satz über die Winkel im Kreisviereck kenne ich aber wie kann ich den hier anwenden???
Verallgemeinter Kreis heißt das etwa auch, dass es eine Gerade sein könnte???

Danke für eureTipps Wink

22.04.2007, 23:56

Abakus

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RE: Möbiustransformation und Doppelverhältnis

Zitat:

Original von vektorraum
Verallgemeinter Kreis heißt das etwa auch, dass es eine Gerade sein könnte???

Ja, das heißt es.

Was fällt dir zu den beiden zu zeigenden Richtungen ein und welche Fallunterscheidungen gibt es da ?

Grüße Abakus smile

23.04.2007, 19:02

vektorraum

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RE: Möbiustransformation und Doppelverhältnis
Hey,

wir müssen doch zeigen:

(i) Aus DV reell folgt, dass alle vier Punkte auf dem Kreis liegen

(ii) Wenn alle vier Punkte auf dem Kreis liegen, dann ist DV reell.

Wir haben uns heute auch nochmal Gedanken dazu gemacht und hatten folgende Idee:

Wir können ja jedes $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} z_k=a_k+ib_k,~k=1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir jedes dieser $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ als Vektor in einem normalen Koordinatensystem auffassen, dann sind doch nach der Bedingung (ii) die Beträge aller $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ gleich, oder???
Dann bilden wir die Vektoren $\begin{eqnarray*} w_k \end{eqnarray*}$ , die zwischen den $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ liegen.
Also liegt z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{z_1} \end{eqnarray*}$ im ersten Quadranten, und $\begin{eqnarray*} \vec{z_2} \end{eqnarray*}$ im zweiten Quadranten, dann heißt der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{w_1}=(a_4-a_1,~b_4-b_1 \end{eqnarray*}$ . Wenn wir das für alle $\begin{eqnarray*} w_k \end{eqnarray*}$ machen, kann man mithilfe des Skalarproduktes die Winkel ausrechnen. Wenn wir den Tipp befolgen, dann müsste doch gelten, dass die gegenüberliegenden Winkel jeweils mit den anderen zusammen gleich groß sind...

Ist dieser Ansatz sinnvoll, oder gibt es einen besseren?

(i) Diese Richtung würde ich so zeigen:

DV reell $\begin{eqnarray*} \Rightarrow~\cfrac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\cdot\cfrac{z_2-z_4}{z_2-z_3}=\cfrac{a_1+ib_1-a_3-ib_3}{a_1+ib_1-a_4-ib_4}\cdot\cfrac{a_2+ib_2-a_4-ib_4}{a_2+ib_2-a_3-ib_3}=\cfrac{a_1-a_3+i\overbrace{(b_1-b_3)}^{=0}}{a_1-a_4+i\overbrace{(b_1-b_4)}^{=0}}\cdot\cfrac{a_2-a_4+i(\overbrace{b_2-b_4}^{=0})}{a_2-a_3+i(\overbrace{b_2-b_3}^{=0})} \end{eqnarray*}$

Ist da ok, und wie kann ich dann folgern, dass alle vier Punkte auf dem verallgemeinerten Kreis liegen???

24.04.2007, 01:10

t0rb3n

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RE: Möbiustransformation und Doppelverhältnis

Zitat:

Original von vektorraum
Wenn wir jedes dieser $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ als Vektor in einem normalen Koordinatensystem auffassen, dann sind doch nach der Bedingung (ii) die Beträge aller $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ gleich, oder???

Nein, es ist ja nicht gesagt das der Kreis den Mittelpunkt 0 hat, außerdem könnte es auch eine Gerade sein und da sind sicher die Beträge nicht gleich.

24.04.2007, 01:13

Abakus

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RE: Möbiustransformation und Doppelverhältnis

Zitat:

Original von vektorraum
(i) Aus DV reell folgt, dass alle vier Punkte auf dem Kreis liegen

(ii) Wenn alle vier Punkte auf dem Kreis liegen, dann ist DV reell.

Wir haben uns heute auch nochmal Gedanken dazu gemacht und hatten folgende Idee:

Wir können ja jedes $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} z_k=a_k+ib_k,~k=1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir jedes dieser $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ als Vektor in einem normalen Koordinatensystem auffassen, dann sind doch nach der Bedingung (ii) die Beträge aller $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ gleich, oder???

Fragwürdig, schließlich kann der Kreis irgendwo in der komplexen Ebene liegen.

Zitat:

(i) Diese Richtung würde ich so zeigen:

DV reell $\begin{eqnarray*} \Rightarrow~\cfrac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\cdot\cfrac{z_2-z_4}{z_2-z_3}=\cfrac{a_1+ib_1-a_3-ib_3}{a_1+ib_1-a_4-ib_4}\cdot\cfrac{a_2+ib_2-a_4-ib_4}{a_2+ib_2-a_3-ib_3}=\cfrac{a_1-a_3+i\overbrace{(b_1-b_3)}^{=0}}{a_1-a_4+i\overbrace{(b_1-b_4)}^{=0}}\cdot\cfrac{a_2-a_4+i(\overbrace{b_2-b_4}^{=0})}{a_2-a_3+i(\overbrace{b_2-b_3}^{=0})} \end{eqnarray*}$

Ist da ok, und wie kann ich dann folgern, dass alle vier Punkte auf dem verallgemeinerten Kreis liegen???

Es kann doch auch $\begin{eqnarray*} \frac i i \end{eqnarray*}$ = 1 o.ä. und damit reell sein. $\begin{eqnarray*} b_1 = b_3 \end{eqnarray*}$ usw. wirst du i.A. nicht folgern können.

Kannst du für den Beweis nicht das Folgende hier benutzen ?

Zitat:

Ich habe bereits gezeigt, dass wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Möbistranformation mit $\begin{eqnarray*} M(z_2)=1,~M(z_3)=0,~M(z_4)=\infty \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} DV(z_1,z_2,z_3,z_4)=M(z_1) \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist gezeigt, dass das DV von jeder MT invariant gelassen wird.

Wenn das DV reell ist, bildest du nach diesem Satz ja auf die reelle Achse ab (denn $\begin{eqnarray*} M(z_1) \end{eqnarray*}$ muss ja auch reell sein). Das ist jedoch eine Gerade. Wie sieht nun das Urbild davon aus ?

Einige weitere Fälle mit dem Punkt "Unendlich" musst du dann noch separat untersuchen.

Grüße Abakus smile

24.04.2007, 12:41

vektorraum

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RE: Möbiustransformation und Doppelverhältnis
Stimmt, der Kreis muss ja nicht notwendigerweise den Mittelpunkt Null haben.

@Abacus: Komme jetzt aber immer noch nicht weiter. Wenn $\begin{eqnarray*} M(z_1) \end{eqnarray*}$ reell ist, ...

Was kann ich daraus folgern???

Urbild: der Kreis???

24.04.2007, 16:13

Abakus

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RE: Möbiustransformation und Doppelverhältnis

Zitat:

Original von vektorraum
Stimmt, der Kreis muss ja nicht notwendigerweise den Mittelpunkt Null haben.

@Abacus: Komme jetzt aber immer noch nicht weiter. Wenn $\begin{eqnarray*} M(z_1) \end{eqnarray*}$ reell ist, ...

Was kann ich daraus folgern???

Urbild: der Kreis???

Im Prinzip steht alles da, was du für die eine Richtung brauchst. Du musst es nur noch richtig zusammensetzen.

ZB dass die Möbius-Transformationen eine Gruppe bilden (dh. es ex. Inverse), und Kreise auf Kreise abbilden, weißt du ja.

Grüße Abakus smile

24.04.2007, 20:01

vektorraum

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RE: Möbiustransformation und Doppelverhältnis
Also ich habe den Beweis jetzt folgendermaße formuliert:

Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} z_1\in \mathbb C_0 \end{eqnarray*}$ auf der durch $\begin{eqnarray*} z_2,z_3,z_4 \end{eqnarray*}$ bestimmten Kreislinie bzw. Geraden (Bezeichnung: K) liegt (es gilt nämlich, dass durch drei verschiedene Punkte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C_0 \end{eqnarray*}$ stets genau eine Kreislinie oder Gerade geht), wenn

$\begin{eqnarray*} DV(z_1,z_2,z_3,z_4)\in\mathbb R\cup\{\infty\}. \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Möbiustransformation mit $\begin{eqnarray*} (z_1,z_2,z_3)\mapsto~(0,1,\infty) \end{eqnarray*}$ . Weil jede lineare Transformation, d.h. insbesondere auch gebrochen-lineare Transformationen, Geraden und Kreislinien in Geraden und Kreislinien überführt, dann folgt

$\begin{eqnarray*} z_1\in K~\Leftrightarrow~Mz_1\in\mathbb R\cup\{\infty\}. \end{eqnarray*}$
Weil aber $\begin{eqnarray*} DV(Mz_1,0,1,\infty)=Mz_1 \end{eqnarray*}$ folgt zusammen mit der Invarianz der MT aber gerade die Behauptung.

24.04.2007, 22:56

Abakus

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RE: Möbiustransformation und Doppelverhältnis

Zitat:

Original von vektorraum
Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} z_1\in \mathbb C_0 \end{eqnarray*}$ auf der durch $\begin{eqnarray*} z_2,z_3,z_4 \end{eqnarray*}$ bestimmten Kreislinie bzw. Geraden (Bezeichnung: K) liegt (es gilt nämlich, dass durch drei verschiedene Punkte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C_0 \end{eqnarray*}$ stets genau eine Kreislinie oder Gerade geht), wenn

$\begin{eqnarray*} DV(z_1,z_2,z_3,z_4)\in\mathbb R\cup\{\infty\}. \end{eqnarray*}$

Durch 3 Punkte geht immer ein Kreis, ohne dass irgendwelche Bedingungen nötig sind.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Möbiustransformation mit $\begin{eqnarray*} (z_1,z_2,z_3)\mapsto~(0,1,\infty) \end{eqnarray*}$ . Weil jede lineare Transformation, d.h. insbesondere auch gebrochen-lineare Transformationen, Geraden und Kreislinien in Geraden und Kreislinien überführt, dann folgt

$\begin{eqnarray*} z_1\in K~\Leftrightarrow~Mz_1\in\mathbb R\cup\{\infty\}. \end{eqnarray*}$

Diese Äquivalenz ist zu zeigen.

Zitat:

Weil aber $\begin{eqnarray*} DV(Mz_1,0,1,\infty)=Mz_1 \end{eqnarray*}$ folgt zusammen mit der Invarianz der MT aber gerade die Behauptung.

Was ist hier invariant ? (nicht die MT)

Insgesamt ist noch die Frage, was passiert, wenn einer der 4 Punkte gleich Unendlich ist (extra Fall).

Grüße Abakus smile

25.04.2007, 22:46

vektorraum

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RE: Möbiustransformation und Doppelverhältnis
Abakus - vielen Dank für deine Hilfe...
Hab jetzt nochmal drüber nachgedacht und hab noch ein bisschen was in meinem Beweis geändert! Werde es morgen früh aber abgeben müssen, mal sehen was der Übungsleiter dazu sagt.

Also danke - auch der andere Thread Augenzwinkern

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