Normierte Räume und deren Äquivalenz

08.12.2004, 17:33	martn	Auf diesen Beitrag antworten »
Normierte Räume und deren Äquivalenz Nabend, Zwei Normen $\begin{eqnarray} \\|\cdot\\|_a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \\|\cdot\\|_b \end{eqnarray}$ auf einem Raum E heißen äquivalent, wenn es eine Konstante $\begin{eqnarray} c > 0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass: $\begin{eqnarray} c^{-1} \\|x\\|_a \leq \\|x\\|_b \leq c\\|x\\|_a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x \in E) \end{eqnarray}$ Ich soll zeigen, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Normen auf E definiert. Tja, da fängts schon an, eigentlich sollte man doch um eine Äquivalenzrelation nachzuweisen, Symmetrie, Reflexivität und Transitivität zeigen. Reflexivität: $\begin{eqnarray} \\|x\\|_a \sim \\|x\\|_a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c^{-1} \\|x\\|_a \leq \\|x\\|_a \leq c\\|x\\|_a \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} 0 < c < 1 \end{eqnarray}$ wäre diese these ja schon widerlegt. Oder verstehe ich den begriff der norm nur falsch? Oder heisst das, dass in der aufgabenstellung $\begin{eqnarray} c \geq 1 \end{eqnarray}$ hätte stehen müssen? Oder bin ich komplett auf dem Holzweg? n kleiner stoß in die richtige richtung würde mir bei dieser aufgabe schon reichen.
08.12.2004, 18:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normierte Räume und deren Äquivalenz "wenn es eine Konstante c>0 gibt" ist was anderes als "für alle Konstanten c>0 gilt" !
08.12.2004, 22:16	martn	Auf diesen Beitrag antworten »
ja klar natürlich, also ist ja die reflexivität schonmal bewiesen. hab zwar die anderen sachen noch nicht probiert, aber es gilt ja immer nur ein c zu finden für das das geht, könnte man hinbekommen. Wenn ich nun eine konvergierende Folge in dieser Norm hätte, könnte man dann denn einfach die Konvergenz dieser Folge in einer äquivalenten Norm mit Hilfe der Symmetrie begründen, mmh..., eigentlich fehlt mir dazu die vorstellungskraft, eine in einer Norm konvergierende Folge? welche auswirkungen kann denn eine Norm auf die Konvergenz einer Folge haben? bzw. was würde denn passieren wenn die Normen nicht äquivalent wären?
09.12.2004, 11:22	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normierte Räume und deren Äquivalenz Bei der Aufgabe steh ich auch echt vor einem riesigen Problem, ich versteh sie einfach nicht. Vor allem die Teilaufgabe d bereitet mir kopfzerbrechen: d)Der Raum $\begin{eqnarray} c_{0}^0 \end{eqnarray}$ aller reellen Nullfolgen mit nur endlich vielen nichtverschwindenden Folgengliedern - dies ist ein Vektorraum - kann zum Beispiel durch $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_{1} = \sum_{n\geq 0}~\|x_{n}\| , \|\|x\|\|_{\infty } = \sup_{n\geq 0}~\|x_{n}\| \end{eqnarray}$ normiert werden. Diese beiden Normen sind aber nicht äquivalen. Wieso denn? Ich kann doch mein c riesengroß wählen und kann damit die Ungleichung von oben erfüllen, oder nicht?

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