Definition der Stetigkeit

08.12.2004, 21:15	Pantostin	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition der Stetigkeit Wir haben die Stetigkeit folgender maßen definiert: Seien (X,d); (Y,e) metrische Räume, f:X-->Y, a € X f stetig in a: <=> für alle Epsilon > 0 gibt es ein Delta > 0 : e(f(x),f(a)) < Epsilon, für alle x € X mit d(x,a)< Delta. Ich stizte jetzt vor meinem Hefter und krieg das einfach nicht in meinen Kopf hinein. Vor allem habe bekomme ich das nicht mit dieser viel einfacheren Definition der stetigkeit in Einklang. Sei f : D-->R eine Funktion und a € D: Die Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls lim f(x)= f(a) für (x-->a). Ich kann das eine einfach nicht mit dem anderen in Zusammenhang bringen, was bestimmt auc hdaran liegt das ich die Erste Definition nicht versteht. Kann mir das jemand versuchen etwas anschaulicher zu erklären?
08.12.2004, 21:50	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition der Stetigkeit Brauchst du wirklich die Metriken aus der ersten Definition? Falls du noch nie mit einer Metrik gearbeitet hast, dann ersetze doch einfach mal $\begin{eqnarray} e(f(x),f(a)) = f(x)-f(a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d(x,a)=x-a \end{eqnarray}$ . Der Satz bedeutet also einfach nur: je mehr sich $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ annähert, umso mehr nähert sich auch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ an. Und genau das sagt der zweite Satz auch aus.
15.12.2004, 20:21	dadudei	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist falsch. es muss umgekehrt formuliert werden: konvergiert x gegen a, so auch f(x) gegen f(a) das espilon-delta kriterium sagt ja auch: die funktion ist stetig in a genau, falls: für jedes epsilon größer null gibt es eine delta-Kugel um a, so dass für alle x aus dieser delta-Kugel auch f(x) in der epsilon-Kugel um f(a) liegen. das ist gerade gleichbedeutend damit, dass, wenn x gegen a, so geht auch f(x) gegen f(a).
15.12.2004, 20:30	dadudei	Auf diesen Beitrag antworten »
@n8chtschichtler: bevor ichs vergesse: mal ein gegenbeispiel für deine formulierung: nimm beispielsweise die konstante funktion f: R nach R, f(x)=2. sei a=0 gesetzt. die funktion ist sicher stetig in 0. allerdings: die folge (f(x(n))), mit x(n)=n (n aus IN) , ist konstant 2, konvergiert also gegen f(0)=2. jedoch konvergiert x(n)=n nicht gegen a=0.
16.12.2004, 01:58	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Recht. War mal wieder ungenau.

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