Prisma in Kugel

23.04.2007, 01:31

moinmoin

Prisma in Kugel

moin!

Der Kugel $\begin{eqnarray*} K : (x-5)^2+(y-3)^2+(z-2)^2 = 81 \end{eqnarray*}$
ist ein gerades, regelmäßiges, dreiseitiges Prisma mit Eckpunkt $\begin{eqnarray*} A=(1|y>0|z) \end{eqnarray*}$ so einzuschreiben, dass seine Basisfläche ABC in der Ebene $\begin{eqnarray*} E : 5x+y+z = 3 \end{eqnarray*}$ liegt. ermittle den Schwerpunkt der Basisfläche und die Koordinaten aller Eckpunkte.

Also bis jetzt habe ich die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} A=(1|4|-6) \end{eqnarray*}$ berechnet...

Nur jetzt stehe ich an... hat jemand einen kleinen Hinweis für mich?

dekuji!

[ModEdit: Titel geändert! Das ist keine Extremwertaufgabe!]

23.04.2007, 07:20

Leopold

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Fälle vom Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Kugel das Lot auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und bestimme den Durchstoßpunkt $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Dieser ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ . Das Dreieck soll nun gleichseitig sein. Es sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ einer der Punkte $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hast du nun drei Bedingungen, zwei lineare und eine quadratische:

$\begin{eqnarray*} \text{1.} \ \ \ X \in E \ \ \Leftrightarrow \ \ 5x+y+z = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{2.} \ \ \ \frac{\overrightarrow{NX} \cdot \overrightarrow{NA}}{\overrightarrow{NA}^{\, 2}} \ = \ \cos{120^{\circ}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{3.} \ \ \ \overrightarrow{NX}^{\, 2} = \overrightarrow{NA}^{\, 2} \end{eqnarray*}$

Die zweite Gleichung gilt, weil die Radien vom Umkreismittelpunkt zu den Ecken des Dreiecks einen 120°-Winkel einschließen.

23.04.2007, 10:15

riwe

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oder mit der notation von leopold:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OL}=\overrightarrow{ON}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{X}=\overrightarrow{OL}\pm\mid\overrightarrow{AN}\mid\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\overrightarrow{AN}\times\overrightarrow{MN}}{\mid\overrightarrow{AN}\times\overrightarrow{MN}\mid} \end{eqnarray*}$

und die korrespondierenden vektoren der deckfläche erhält man mit:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OY} =\overrightarrow{OX}+2\overrightarrow{NM} \end{eqnarray*}$

ich hoffe, ich habe den buchstabensalat richtig hingekriegt.

zur kontrolle:

A(1/4/-6), B(-2/7/6), C(1/-5/3) und E(11/6/-4) usw.

werner

edit: faktor 0.5 hinzugefügt, siehe post unten

23.04.2007, 15:01

moinmoin

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Danke Leopold und Werner!

Jetzt kenn ich mich aus.

Ich will nicht kleinlich sein, nur zum richtigen Verständnis eine Fragen noch:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{X}=\overrightarrow{OL}\pm\mid\overrightarrow{AN}\mid\sqrt{3}\frac{\overrightarrow{AN}\times\overrightarrow{MN}}{\mid\overrightarrow{AN}\times\overrightarrow{MN}\mid} \end{eqnarray*}$

müsste da nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}/2 \end{eqnarray*}$ stehen ??

23.04.2007, 18:05

riwe

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ja,
ist ja nur die halbe länge.
das habe ich im salat verloren,
ich korrigiere es oben

werner

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