Ableitung von |x³| ?

09.12.2004, 17:42	qwerty	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von \|x³\| ? hallo, wie leite ich eine funktion, in der ein betrag vorkommt ab? zB f(x) = \|x³\| oder g(x) = \|6x\| ich hab zwar das computerprogramm derive und weiß daher, dass die ableitung von \|x³\| 3x.\|x\| sein muss, aber warum das so ist weiß ich nicht. in meiner formelsammlung steht dazu leider auch nichts.
09.12.2004, 17:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|x^3\| = x^3 \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} x \leq 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|x^3\| = -x^3 \end{eqnarray}$ . Man erhält also den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \|x^3\| \end{eqnarray}$ aus dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray} g(x) = x^3 \end{eqnarray}$ , indem man deren linken Ast an der x-Achse spiegelt. Dabei ändert die Steigung das Vorzeichen (bei 0 bleibt die Steigung 0). Also gilt $\begin{eqnarray} g'(x) = 3x\|x\| \end{eqnarray}$ (das ist rechts von 0 gleich $\begin{eqnarray} 3x^2 \end{eqnarray}$ , links von 0 gleich $\begin{eqnarray} -3x^2 \end{eqnarray}$ und bei 0 gleich 0).
09.12.2004, 17:59	qwerty	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, danke also muss ich quasi den teil links und rechts der y-achse jeweils einzeln ableiten? also wenn ich jetzt \|6x\| habe, ist die ableitung links der y-achse -6 und rechts der y-achse 6, und an der stelle 0 ist sie 0. ...also die signum-funktion.
09.12.2004, 18:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
An der Stelle 0 ist die Ableitung nicht definiert, da man von rechts gesehen die Steigung 6 und von links gesehen die Steigung -6 hat. Der Graph hat einen Knick. (Du darfst also nicht einfach sagen: "0 ist der Kompromiß von 6 und -6.") Das ist beim ersten Beispiel anders. Dort hat man bei 0 von links wie von rechts gesehen die Steigung 0. Eine Zusammenstellung möglicher Fälle findest du im Anhang.
09.12.2004, 18:29	qwerty	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, das hab ich eh schon gelernt, aber in der hitze des gefechts total vergessen trotzdem danke für die pdf datei, ist eine gute zusammenfassung
09.12.2004, 19:04	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold hab mal ne frage. es ging auch das ne?? $\begin{eqnarray} f(x) = \left\|x^3\right\| \Rightarrow f'(x) = 3\left\|x\right\|^2\text{sign(}x\text{)} \end{eqnarray}$
Anzeige

09.12.2004, 19:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x \cdot \operatorname{sgn}(x) = \|x\| \ , \ \ \|x\| \cdot \operatorname{sgn}(x) = x \end{eqnarray}$
09.12.2004, 19:20	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schön

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »