isomorphismen

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math.neugierig Auf diesen Beitrag antworten »
isomorphismen
hallo!
so sitze gerade vor meinem algebra-kram, vor folgendem problem:

ich soll zeigen, das eine bestimmte funktion ein isomorphismus ist, das heißt, das die linearität und bijektivität zu zeigen ist. die linearität ist gezeigt! für die bijektivität, muss ich die injetivität und surjetivität zeigen. so für injektiv, zeigt man das der kern = {0} ist, surjetiv mit hilfe der dimensionsformel, doch dafür brauch ich erstmal den kern.

so meine frage lautet daher, wie zeige ich das der kern ={0} ist? verwirrt

bitte um möglichst schnelle antwort...

Danke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du eine konkrete Funktion gegeben?
Oder geht es um eine allgemeine Aussage?
math_neugierig Auf diesen Beitrag antworten »

also konkrete aufg:
für einen K-Vektorraum V definiere (j entspricht im folgenden: jota, tiefergestellt v) also: j: V ->(V*)*, (j(u))(l) = l(u) (hier u E V, l E V*). zeige dass j ein isomorphismus ist. zeige ferner: f: V->W eine K-lineare Abbildung, so gilt jw °f= (f*)*°jv

° entspricht einer verknüpfung

:/
math_neugierig Auf diesen Beitrag antworten »

also wie zeig ich denn den kern von jotav?? verwirrt

Hilfe bitte!
matze2002 Auf diesen Beitrag antworten »

ok fangen wir mal an

jota von v soll ein Isomorphismus sein
Beweis
V--->V*--->(V*)*
nennen wir die erste Abblidung V-->V* mal g und die zweite V*-->(V*)* nennen wir mal f
Ok vlt zeichnest du dir dazu mal das komplette diagramm das ist mir jetzt zu viel arbeit, meins ist nur die kurzform
Nun weisst du das die überführungen von Abbildungen in Dualräume ein Isomorphismus ist. also die V--->V* ein Isomorphismus

Da die Vereinigung von Isorphen Abbildugen wieder ein Isomorphismus ist, ist jota v ein Isomorphismus.
des wäre jetzt die lösung nach diagrammjagd.

hast das mir der K-linearen Abbilldung schon?
das geht eingegentlich auch ganz einfach
du hast dafür zwei bedingungen jw °f= (f*)*°jv
und jv(u(l)) =l(u) dies gilt aber nur für k-lineare abbildungen
die musst du einfach immer anwendenAugenzwinkern
math_neugierig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matze2002
ok fangen wir mal an

jota von v soll ein Isomorphismus sein
Beweis
V--->V*--->(V*)*
nennen wir die erste Abblidung V-->V* mal g und die zweite V*-->(V*)* nennen wir mal f
Ok vlt zeichnest du dir dazu mal das komplette diagramm das ist mir jetzt zu viel arbeit, meins ist nur die kurzform
Nun weisst du das die überführungen von Abbildungen in Dualräume ein Isomorphismus ist. also die V--->V* ein Isomorphismus

Da die Vereinigung von Isorphen Abbildugen wieder ein Isomorphismus ist, ist jota v ein Isomorphismus.
des wäre jetzt die lösung nach diagrammjagd.

hast das mir der K-linearen Abbilldung schon?
das geht eingegentlich auch ganz einfach
du hast dafür zwei bedingungen jw °f= (f*)*°jv
und jv(u(l)) =l(u) dies gilt aber nur für k-lineare abbildungen
die musst du einfach immer anwendenAugenzwinkern
 
 
math_neugierig Auf diesen Beitrag antworten »

du hast dafür zwei bedingungen jw °f= (f*)*°jv
und jv(u(l)) =l(u) dies gilt aber nur für k-lineare abbildungen
die musst du einfach immer anwenden

sorry, erst mal ein versehen vorhin beim zitieren passiertsmile

danke für die antwort, hab die aufgabe jetzt zwar schon fertig, aber nur für das verständnis: heißt das das ich die funktion für k-lineare abbildungen, auch für jota w benutzen darf?

werd die sachen aber noch mal durch arbeiten, danke!!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Im Allgemeinen ist Jota kein Isomorphismus!!! Aber z.b. dann, wenn V endlichdimensional ist. Frage ist: Was ist V* überhaupt??? Ich kenne V* als den Vektorraum aller stetigen Funktionale f: V --> K, wobei K entweder IR oder C ist, und V ist dabei ein normierter Vektorraum. Ist genau das mit V* gemeint, dann ist Jota stets injektiv:

Sei j(u) = 0. Dann ist j(u)(l) = 0 für alle l aus V*. Da j(u)(l) = l(u), folgt l(u) = 0 für alle l aus V*. Wäre nun u nicht Null, so gäbe es nach dem Satz von Hahn-Banach ein Funktional l in V*, so dass l(u) = ||u|| != 0 (Bem.: "!=" bedeutet "ungleich"). Widerspruch! Also muss u = 0 sein.
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