Endomorphismus

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Buef Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus
Bosch AUfg 5.1.2

Sei V ein nichttravialer Vektorraum über einem Körper K. Betrachten Sie zu einem Endomorphismus den Einsetzungshomomorphismus:





der anstelle der Variablen T einsetzt. Bestimmen Sie in den Fällen



-------------------------------------


Also ein Endomorphismus ist ja eine Abbildung auf sich selbst. Un dwenn der ker von Phi sein soll, dann gilt doch folgendes:

Der ker bildet immer auf die 0 ab, und da der ker schon 0 ist, ist 0^n =0

Genau so id. Id^n ist doch auch immer die id.

Oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht, daß du verstanden hast, worum es geht. Der Kern selbst ist doch keine Abbildung! Der Begriff heißt ja auch korrekt "Kern einer Abbildung" - und das ist eine Menge (!!) im Urbildbereich des entsprechenden Homomorphismus.

Und um was für einen Homomorphismus geht es hier? Es handelt sich hier um einen speziellen Ringhomomorphismus vom Ring der Polynome in den Ring der Endomorphismen, nämlich um das Einsetzen. Das klingt alles furchtbar kompliziert, aber es geht um nichts anderes als

- die Ersetzung von durch
- die Ersetzung von (Multiplikation im Polynomring) durch (Verkettung von Endomorphismen)
- die Ersetzung von (Eins im Polynomring, identifiziert mit der Eins von ) durch (Einselement im Endomorphismenring)

Nehmen wir Vertrautes:


(Polynome über in der Unbestimmten )
(dreidimensionaler reeller Standardvektorraum)



ist also eine ganz konkrete Abbildung. Stelle dir das auch ruhig ganz konkret vor: In diesem Beispiel wird jedem Vektor sein Doppeltes zugeordnet. Man könnte es auch so sagen: ist die zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckzentrum und dem Streckfaktor 2.

Und jetzt erst kommt unser Ringhomomorphismus ins Spiel. Er ersetzt einfach, wie oben beschrieben. kann dabei ein beliebiges Polynom sein. Nehmen wir auch hier Beispiele:


1. Beispiel:

Aus wird




2. Beispiel:

Aus wird




So entspricht jedem Polynom ein ganz gewisser Endomorphismus . Und dieser Übergang wird mit (Groß-Phi) bezeichnet.

Was ist in unserem Beispiel der Kern von ? Das sind diejenigen Ringelemente, also Polynome, die durch auf das Nullelement abgebildet werden. Da "Abbilden" hier aber nichts anderes als "Ersetzen" bedeutet, muß man fragen: Welche Polynome führen bei diesem Ersetzungsvorgang auf die Nullabbildung von ?

führt auf
führt auf
führt auf , also
führt auf , also

Induktiv folgt:

führt auf die Abbildung , also (stimmt auch für und )

(die Summe soll endlich sein) führt dann auf . Und Letzteres soll nun die Nullabbildung werden:

für alle

für alle

für alle

für alle



Und damit haben wir den Kern bestimmt. Es sind alle Polynome, für die die letzte Summenbedingung erfüllt ist, kurzum: alle mit der Nullstelle 2. Zum Beispiel liegt



im Kern von , weil ist.



Und was ich jetzt hier mit meinem Beispiel - gemacht habe, sollst du jetzt für (Nullabbildung von ) und durchführen.
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die sehr ausführliche antwort! das hat mir die aufgabe sehr klar gemacht. anhand diesen 2 beispielen werde ich es sicherlich schaffen.

hier für das Beispiel




Aus wird

es ist damit auch



Zu suchen ist nun der Ker von



usw

daraus folgt dass der 0 ist?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Buef
daraus folgt dass der 0 ist?


Nein.

Noch einmal: Da auf Polynomen wirkt, besteht der Kern auch aus Polynomen. Wenn die Nullabbildung ist, dann sind es allerdings viel mehr Polynome als nur das Nullpolynom, die den Kern von ausmachen. Zum Beispiel gehört das Polynom dann zum Kern von . Denn es gilt



Dagegen gehört das Polynom nicht zum Kern von . Warum?

Beachte auch, daß von abhängt. Jedes neue induziert einen neuen Homomorphismus . Und du sollst jetzt die beiden untersuchen, die zu und zu gehören.
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt, aber kein 0 Polynom, wie in deinen Beispielen, wenn ich das richig verstanden habe.

also nehme ich die funktion



und setzte anstelle von T

Induktion jetzt stark verkürzt





aber ich wüsste jetzt nicht wirklich, wie das von einander abhängt, und ob das jetzt richtig ist
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt für ein beliebiges Polynom

(endliche Summe)

untersuchen, wann ist, wobei ich mit die Nullabbildung von bezeichnet habe. (Und im zweiten Teil der Aufgabe dasselbe Spiel mit : Wann ist ?)
Der Ansatz liefert dir Bedingungen für die Koeffizieten und damit die Gestalt der Polynome, die im Kern von liegen.
 
 
Buef Auf diesen Beitrag antworten »



aber wenn ich dann da für T=\varphi=0 einsetze, ist dieses Summe immer 0!
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

richtig oder total falsch?
Loop Auf diesen Beitrag antworten »

Fast Augenzwinkern

Was passiert denn mit dem -Term? Also was ist ? D.h. wie muss man die Koeffizienten wählen, damit die Nullabbildung herauskommt? (Dabei bezeichne ich mit die Nullabbildung, didaktisch etwas ungünstig, da die erste Null das Symbol für die Abbildung, die zweite das Symbol für den Nullvektor in V ist)

Grüße.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Buef


aber wenn ich dann da für T=\varphi=0 einsetze, ist dieses Summe immer 0!


Zitat:
Original von Buef
richtig oder total falsch?


Falsch.
Schon mein aus meinem vorletzten Beitrag widerlegt dich.
Und angenommen, du hättest recht, dann würden ja alle Polynome auf das Nullelement abgebildet werden. Der Kern von wäre damit der ganze Polynomring . Aber du hast ja nicht recht.
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