extremwertaufgabe |
| 23.04.2007, 15:28 | loki1601 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| extremwertaufgabe Eine bienenwabe ist an einem ende abgeschlossen. stark vereinfacht kann man sich die wabe als prisma mit einem regelmäßigen sechseck als grundfläche vorstellen, welches durch die ebenen einer dreiseitigen pyramide abgeschlossen wird. dabei wird die pyramide gerade so aufgesetzt, dass das volumen des gesamten körpers im vergleich zum prisma nicht verändert wird. die spitze s wird in der höhe x über der oberkante des prismas angebracht. die pyramidenfläche durch s, p7 und p9 schneidet so z.b. die kante p2p8 in der höhe (h-x). der teil des prismas, der oberhalb liegt, wird abgeschnitten und entspricht vom volumen gerade dem teil der pyramide, die das prisma abschließt. die seitenflächen einer so abgeschlossenen bienenwabe werden durch den schnitt zu trapezen. bestimmen sie für eine bienenwabe mit der kantenlänge a=2.5mm und der höhe h=20mm die optimale höhe der spitze s, wenn die oberfläche der bienenwabe möglichst klein sein soll. ok. fang ich mal an: die oberfläche berechnet sich aus den 6 trapezen + 3* die raute(seitenfläche der pyramide) f und e als diagonale der raute f=2*wurzel(a^2-(a/2)^2) e=wurzel(a^2+(2x)^2) Araute=(1/2)ef =wurzel(a^4+(ax^2)^2-((a^2)/2)^2-(ax)^2) Atrapez=(1/2)(2h-x)a Okörper=3*wurzel(a^4+(ax^2)^2-((a^2)/2)^2-(ax)^2)+3(2h-x)a =3*wurzel(2.5^4+(2.5x^2)^2-((2.5^2)/2)^2-(2.5x)^2)+3(2*20-x)2.5 =3*wurzel(1875/64+18,75x^2)+300-7,5x Okörper=f(x) f'(x)=(3/(2*wurzel(1875/64+18,75x^2))-7,5 ich hoff mal, dass das so richtig ist. mein problem dabei ist das die ableitung keine 0 stellen besitzt und ich dadurch kein minimum oder maximum bestimmen kann. ich hoffe das mir jemand helfen kann. mfg loki |
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