Minimierungsaufgabe

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Mr.Pink Auf diesen Beitrag antworten »
Minimierungsaufgabe
hallo leute,

ich hab hier ein problem mit einer aufgabe und komme nicht mehr weiter.
sie lautet:
Lösen Sie
bzgl.
a)graphisch
b)durch elemination einer variable
c)durch KKT-System (Kuhn-Tucker-Sytem, also mit lagrange-operatoren)

erstmal zu a)
und




die blauen und die roten linien sind die zielfunktion und die grüne die nebenbedingung.
soweit so gut bzw. schlecht, denn wo kann ich nun das minimum ablesen? is das bei ? das macht mich stutzig, denn bei den rechnungen bekomme ich was anderes raus. deswegen erstmal:

zu b)
nunja, hier habe ich die nebenbedingung in die zielfunktion eingesetzt, dann:

dies nun differenzieren:
dann
2. ableitung ist kleiner null, deswegen habe ich hier ein maximum, wobei
und das kann ja nunmal gar nicht sein, denn 1.ist es ein maximum und kein minimum und 2. kommt jetzt:

zu c)
lagrangfunktion bilden:

dann weiter im 2. post. zu wenig platz hier Augenzwinkern

[Modedit: Das ist ein Märchen! Big Laugh Doppelpost zusammengefügt!]

differenzieren ergibt:
(1)
(2)
(3)
dann bekomme ich aus (1) und (2):

dann in (3) einsetzen und es folgt:
und

das müsste ja nun die zielfunktion minimieren, aber irgendwie ist das nur ein punkt auf der nebenbedingungsfunktion. verwirrt

ich weiß nicht, was ich falsch mache. deswegen helft mir bitte und zeigt mir bitte, wo meine fehler liegen. ich weiß nicht mehr weiter. drei aufgaben und drei andere lösungen... böse
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimierungsaufgabe
Zitat:
Original von Mr.Pink
hallo leute,

ich hab hier ein problem mit einer aufgabe und komme nicht mehr weiter.
sie lautet:
Lösen Sie
bzgl.
a)graphisch
b)durch elemination einer variable
c)durch KKT-System (Kuhn-Tucker-Sytem, also mit lagrange-operatoren)

erstmal zu a)
und




die blauen und die roten linien sind die zielfunktion und die grüne die nebenbedingung.
soweit so gut bzw. schlecht, denn wo kann ich nun das minimum ablesen? is das bei ? das macht mich stutzig, denn bei den rechnungen bekomme ich was anderes raus. deswegen erstmal:


Ich denke, du hälst dich zu sehr an Rechenschemata fest und denkst zu wenig über die Aufgabe nach.

Betrachte einmal: . Wenn du größer machst, und die Nebenbedingung dabei beachtetst, ist "etwa" auch so groß. Das Quadrat von geht jedoch nur zur Hälfte ein, das Quadrat von dagegen geht voll in die Zielfunktion ein.

Demnach ist es nach erstem Anschein doch plausibel, wenn die Zielfunktion beliebig klein werden kann und ein Minimum nicht existiert ?

Zu deiner Zeichnung: die (grüne) Nebenbedingung ist ok, von der Zielfunktion musst du jedoch die Niveau- oder Höhenlinien darstellen (d.h. du zeichnest die Höhenlinien deiner Zielfunktion mit verschiedenen Höhen ein).

Bei b) hast du dich vermutlich vertan: es sollte rauskommen (die zweite Koordinate ist um 3 größer).

Bei c) ist klar, dass dir die Lagrange-Methode höchstens notwendige Bedingungen für einen Extremwert (Min. oder Max.) liefert.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text
Mr.Pink Auf diesen Beitrag antworten »

danke abakus.
meine zeichnung ist auch völlig falsch, denn wie ich mittlerweile rausbekommen habe bzw. eigentlich wissen müsste, handelt es sich bei der zielfunktion um eine hyperbel. ich werd´s mal mit den höhenlinien probieren, wie du sagtest.
ich bin dennoch etwas verwirrt. wenn ich deine aussage richtig verstanden habe und es mir selber nochmal durchdenke, gibt es also gar kein minimum, sondern nur ein maximum, was ich rechnerisch nachgewiesen habe. aber dies würde ja bedeuten, dass es gar keine lösung für das minimierungsproblem gäbe?! ich habe dieses problem heute nochmal mit zwei kommilitonen besprochen und die haben das selbe raus.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mr.Pink
wenn ich deine aussage richtig verstanden habe und es mir selber nochmal durchdenke, gibt es also gar kein minimum, sondern nur ein maximum, was ich rechnerisch nachgewiesen habe. aber dies würde ja bedeuten, dass es gar keine lösung für das minimierungsproblem gäbe?! ich habe dieses problem heute nochmal mit zwei kommilitonen besprochen und die haben das selbe raus.


Ja, genau. Vielleicht war ja statt Minimierung dann Maximierung gemeint ?

Grüße Abakus smile
Mr.Pink Auf diesen Beitrag antworten »

ja, genau das haben wir uns auch gedacht. ich werd das jetzt einfach als maximierungsaufgabe auffassen. nächste woche wird das ü-blatt besprochen. mal sehen was dabei rauskommt.Augenzwinkern

jedenfalls danke für deine mühe, Abakus. smile
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