Einsetzungshomomorphismus ?!

23.04.2007, 19:20

SilverBullet

Einsetzungshomomorphismus ?!

Hallo zusammen, haben als Thema Ringe und ums kurz zu machen : Ich verstehe absolut gargarnichts davon. Die Begriffe ansich sind mir klar aber trotzdem will nichts gelingen unglücklich

Aber hier ein Beispiel wo ich dringend Unterstützung gebrauchen könnte :

Sei R ein kommutativer Ring und $\begin{eqnarray*} t \in R \end{eqnarray*}$ . Betrachten sie den Ringhomomorphismus :

$\begin{eqnarray*} \phi : R[T] \rightarrow R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \mapsto f(t) \end{eqnarray*}$ ,

der t anstelle von T einsetzt.
Zeigen sie :

$\begin{eqnarray*} ker(\phi) =R[T] \cdot (T-t) :=\{(T-t)g \mid g \in R[T]\} \end{eqnarray*}$

Ja ich würde gerne einen Ansatz machen aber selbst das bekomme ich nicht hin. Letztes Blatt noch schöne Determinanten gehabt und jetzt auf einmal sowas böse

23.04.2007, 19:44

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ringe sind toll smile

Die Behauptung, die du zeigen sollst, ist eigentlich offensichtlich: Was heißt es denn, wenn $\begin{eqnarray*} f(t)=0 \end{eqnarray*}$ ? Richtig, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Nullstelle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ hat, d.h. wir können $\begin{eqnarray*} T-t \end{eqnarray*}$ abspalten. Hilft dir das schon weiter?

Gruß, therisen

23.04.2007, 21:27

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hab mir nun das Kapitel komplett nochmal angeschaut darum kommt meine Antwort erst so spät.
Also ich bin am rand der Verzweifelung unglücklich

Hmm leider hilft mir das noch nicht..
ich glaube ich habe noch Probleme zu verstehen was
$\begin{eqnarray*} ker(\phi) =R[T] \cdot (T-t) :=\{(T-t)g \mid g \in R[T]\} \end{eqnarray*}$
bedeutet.

Der Kern der Abbildung ist ja klar.

Aber was soll ich mir unter R[T](T-t) vorstellen? Wie kommt das zu stande?

Hmm ansich sehr merkwürdig!!
Also es müsste doch direkt gelten,dass wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ T durch t ersetzt das die Funktion g aus R[T] mit g(T-t) dann zu g(t-t) wird und das ist g(0).

Das sieht mir aber sehr erm konfus und ohne Struktur aus. Kannst du mir vielleicht zeigen wo ich da überhaupt anfangen muss und was ich dann daraus folgern muss ?

23.04.2007, 21:34

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

R[T] ist eine Menge aus Polynomen, wenn ich es richtig sehe.

phi bildet Polynome in T auf Ringelemente ab indem es T durch t ersetzt. Der Kern von phi sind jene Polynome, die an der Stelle t eine Nullstelle haben, also f(t) = 0. Und wir wissen, wenn ein Polynom bei t eine Nullstelle hat, dann kann man den Linearfaktor (T-t) "rausziehen".

R[T]*(T-t) ist die Menge aller Polynome, die den Linearfaktor (T-t) enthalten, also bei t mindestens eine einfache Nullstelle haben. Für jedes f aus R[T]*(T-t) gilt also f(t) = g(t)*(t-t) = g(t)*0 = 0. Also ist jedes solche Polynom im Kern.

23.04.2007, 21:37

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja aber ich verstehe noch nicht wirklich wie ich
$\begin{eqnarray*} ker(\phi) =R[T] \cdot (T-t) :=\{(T-t)g \mid g \in R[T]\} \end{eqnarray*}$
zeigen soll.

Ich muss doch hier 2 Sachen zeigen oder ?

Also 1: $\begin{eqnarray*} ker(\phi) =R[T] \cdot (T-t) \end{eqnarray*}$
und 2: $\begin{eqnarray*} ker(\phi) =\{(T-t)g \mid g \in R[T]\} \end{eqnarray*}$

oder geht das irgendwie in einem rutsch ?

23.04.2007, 21:39

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

R[T]*(T-t) wird definiert als {(T-t)g | g aus R[T}}.

Die Menge ist also die Definition des Ausdrucks davor. Also musst du nur 2. zeigen. Siehe mein vorhergehender Beitrag.

23.04.2007, 21:58

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schreibe ich das denn nun formal richtig auf ?

Kann ich es so machen :

Sei $\begin{eqnarray*} g \in R[T] \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(g) = g(t) \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann jedoch auch $\begin{eqnarray*} \phi(g \cdot (T-t))=g(t) \cdot (t-t) = g(t) \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ und damit Element des Kernes von Phi.

Hmm irgendwie sieht das so kurz aus

23.04.2007, 22:11

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner am meckern ? Also entweder ist das so richtig oder total falsch ?!

23.04.2007, 22:14

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Einsetzungshomomorphismus ?!
Damit hast du (im Wesentlichen) $\begin{eqnarray*} R[T] \cdot (T-t)\subseteq ker(\phi) \end{eqnarray*}$ gezeigt (das war der triviale Teil Augenzwinkern

). Bleibt noch die andere Richtung.

23.04.2007, 22:21

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Mist ich wusste doch diese Ringe sind teuflisch !

Und dann war es sogar nur der triviale Teil *maeh*

Ok um die andere Richtung zu zeigen muss ich nun was machen ?

Also theoretisch müsste ich mir doch nun ein Element aus dem Kern wählen und zeigen das es gerade dieses g*(T-t) sein muss oder ?

23.04.2007, 22:39

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SilverBullet
Also theoretisch müsste ich mir doch nun ein Element aus dem Kern wählen und zeigen das es gerade dieses g*(T-t) sein muss oder ?

Du musst zeigen, dass es sich mit einem geeigneten(!) g in dieser Form darstellen lässt, ja. Probier's mal.

23.04.2007, 22:56

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Omg mir fehlt absolut jegliches Verständniss für diese Ringdinger !!

Ich komme gerade mal zum wählen und das war es unglücklich

Sei $\begin{eqnarray*} g \in ker(\phi) \end{eqnarray*}$ . Da g im Kern von phi liegt muss also auch $\begin{eqnarray*} g \in R[T] \end{eqnarray*}$ gelten.

*möp* und wie ich da nun das (T-t) dran bekomme weiß ich nicht.
Das ist alles so hmm "seltsam"

Also so rein in meinen Gedanken muss doch das Polynom einfach nur die "0" sein damit es im Kern liegt da ja sonst jede Funktion das Polynom verändern würde und aber nicht zu 0. Aber hier ist ja dieses (T-t) und wenn das 0 wird ist ja klar das da nur die 0 rauskommt. Aber ein Polynom mit (T-t) multipliziert ist doch wieder was total anderes ? ARGH LOL Hammer

Neue Frage »

Antworten »

Einsetzungshomomorphismus ?!

Verwandte Themen