injektiv, frei, surjektiv, Erzeugendensystem

10.12.2004, 14:34	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
injektiv, frei, surjektiv, Erzeugendensystem Hallo! Wie kann ich diese Aufgabe angehen??? Bin über jede Art von Hilfe dankbar!! Seien v1, v2, ... , vn Elemente des Vektorraumes V über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ^n -> V die durch $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ (ei) = vi für 1 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ i $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ n eindeutig bestimmte lineare Abbildung. Man zeige: (a) $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ injektiv <=> {v1, ... , vn} frei. (b) $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ surjektiv <=> {v1, ... , vn} Erzeugendensystem von V. Danke
10.12.2004, 14:46	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: injektiv, frei, surjektiv, Erzeugendensystem tja, kommt drauf an, was du an Eigenschaften von linearen Abbildungen schon benutzen darfst. z.B. gibt's eine Aussage über den Zusammenhang "lineare Abbildung ist injektiv" und dem Kern der Abbildung. Weißt du da was?
10.12.2004, 14:49	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: injektiv, frei, surjektiv, Erzeugendensystem mmh, heisst es da nicht, dass ker f = 0 sein muss?
10.12.2004, 14:58	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: injektiv, frei, surjektiv, Erzeugendensystem richtig, und jetzt mußt du bei a) ganz stur jeweils beide Richtungen der Aussage beweisen. Das ist im Prinzip ein Dreizeiler.
11.12.2004, 13:20	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: injektiv, frei, surjektiv, Erzeugendensystem Also ich versuchs mal: "=>" : wenn $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ injektiv, dann {v1, ..., vn} frei, d. h. wenn $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ (0) = 0, dann v = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha i vi \end{eqnarray}$ = 0 alle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ i = 0 $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ (W) = Y , wobei v = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha i vi \end{eqnarray}$ w = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha i ei \end{eqnarray}$ w= 0, wenn alle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ i = 0 "<=": wenn {v1, ..., vn} frei, dann $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ (w) = 0, w= 0 sei v = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha i vi \end{eqnarray}$ , wenn v= 0, dann { $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ 1, ..., $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ n} = 0 $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ (w) = v= 0 also: 0 = v= $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha i vi \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha i \gamma (ei) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ (linear) $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha i ei \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ w $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha i ei \end{eqnarray}$ 0 = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha i ei \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ i = 0 für alle v i => für alle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ i => w = 0 => $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ injektiv Und ist das einigermaßen richtig? Hast du zufällig noch ein paar Tipps für (b)?
11.12.2004, 18:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: injektiv, frei, surjektiv, Erzeugendensystem Also ich weiß nicht, ob man das als Beweis gelten lassen kann. Ich habe den, ehrlich gesagt, nicht verstanden. Ich hätte es so gemacht: "=>" : zu zeigen ist: wenn $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ injektiv, dann {v1, ..., vn} frei, d. h. wenn $\begin{eqnarray} Kern(\gamma) = 0 \end{eqnarray}$ , dann folgt aus $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha_i \cdot v_i = 0 \text{ dass } \alpha_1 = ... = \alpha_n = 0 \end{eqnarray}$ Anmerkung: $\begin{eqnarray} \gamma(0) = 0 \end{eqnarray}$ wie du schreibst, gilt immer. Angenommen. es gibt ein k mit alpha_k <> 0 und $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha_i \cdot v_i = 0 \end{eqnarray}$ Dann ist: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha_i \cdot \gamma(e_i) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma(\sum_{i=1}^n~\alpha_i \cdot e_i) = 0 \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} Kern(\gamma) = 0 \end{eqnarray}$ , ist: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~\alpha_i \cdot e_i = 0 \end{eqnarray}$ da aber alpha_k <> 0, wären e_1, ..., e_n linear abhängig. Das ist aber ein Widerspruch, dass diese eine Basis bilden. Also ist $\begin{eqnarray} \alpha_1 = ... = \alpha_n = 0 \end{eqnarray}$ q.e.d. Versuch die andere Richtung nochmal selbst. Geht auch mit einem Widerspruch. Über Aufgabe b) habe ich noch nicht nachgedacht.
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