Nervtötende Funktion bijektiv?

23.04.2007, 20:00

Dani325432

Nervtötende Funktion bijektiv?

Hi,

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+\mid x\mid } \end{eqnarray*}$

Wie kann man zeigen, dass das Ding injektiv und surjektiv ist? Ich kann die Aussage der Injektivität zwar negieren:

Es existieren x1, x2 mit f(x1) = f(x2) und x1 ungleich x2. Aber wie führe ich das zum Widerspruch?

Gruß,
Dani

23.04.2007, 20:48

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Mal langsam mit den jungen Pferden: Es geht also um

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{1+ |x|} \end{eqnarray*}$

Welcher Definitionsbereich? Ich nehme an, ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Aber welcher Wertebereich? Jedenfalls nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , denn sonst stimmt das "surjektiv" nicht!

23.04.2007, 20:54

Dani325432

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sorry, es geht nur um $\begin{eqnarray*} \mathbb R \Rightarrow [-1,1] \end{eqnarray*}$

23.04.2007, 20:56

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Sicher beim Wertebereich? Also inklusive der Intervallgrenzen -1 und +1 ?

23.04.2007, 21:02

DaniNummer

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ja laut aufgabenstellung ist es ein geschlossenes Intervall... zusätzlich gilt noch f(+inf)=1 und f(-inf)=-1 ... hätt ich noch dazusagen müssen!

23.04.2007, 21:06

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Dann ist aber der Definitionsbereich nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sondern

$\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty,\infty\} \end{eqnarray*}$ .

Du siehst, hier kommt es auf Exaktheit an.

23.04.2007, 21:08

Dani325432

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Richtig. Hast du eine Idee/Tipp für den Beweis der Injektivität?

23.04.2007, 21:14

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Zeig doch einfach, dass die Funktion streng monoton wachsend ist, dann ist die Injektivität klar. Dann musst du nur noch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -\infty} ~ f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to \infty} ~ f(x) \end{eqnarray*}$ berechnen und hast wegen der Stetigkeit auch den Wertebereich, den du zum Nachweis der Surjektivität brauchst.

23.04.2007, 21:19

Leopold

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Hier kannst du die geometrische Wirkung der Abbildung sehen. $\begin{eqnarray*} [-\infty,\infty] \end{eqnarray*}$ wird auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ abgebildet.

Zur Rechnung: Man kann die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} x = f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ explizit angeben. Löse die Gleichung $\begin{eqnarray*} y = f(x) = \frac{x}{1 + |x|} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf. Mache dazu eine Fallunterscheidung und versuche, beide Fälle mit Hilfe von Betragsstrichen zusammenzufassen. Wenn du die Formel einmal hast, mußt du nur $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_{[-1,1]} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_{[-\infty,\infty]} \end{eqnarray*}$ nachweisen.

23.04.2007, 21:21

Dani325432

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Danke... ich geh mich dann mal erschießen.

23.04.2007, 21:36

Leopold

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Zitat:

Original von Dani325432
Danke... ich geh mich dann mal erschießen.

Aber bitte erst, wenn du in $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ angekommen bist.

23.04.2007, 21:38

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@Leopold

Eigentlich ist es mein Part, die Leute zu verschrecken ... smile

Andererseits aber sollte ein Student durch sowas nicht so einfach zu erschrecken sein.

23.04.2007, 21:42

Leopold

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Als alternative Antwort auf DaniXXYYZZ's Beitrag hatte ich mir noch überlegt:

Erzähle, wie es war, wenn du zurückkommst ...

Wobei ich eigentlich nicht so richtig weiß, was ihn so verstört hat: dein Beitrag oder meiner? Oder einfach die furchtbare Situation, einmal ein bißchen nachdenken zu müssen.

23.04.2007, 21:44

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Nein, nein - das Verschrecken bezog sich auf deinen Beitrag von 21:19. Augenzwinkern

23.04.2007, 21:52

Leopold

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Na - wenn es denn so wäre, dann zeige ich ihm, daß das Verschrecktsein absolut unnötig war:

Nehmen wir zuerst $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}, \ x \geq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{1 + |x|} \ \ \Leftrightarrow \ \ y = \frac{x}{1 + x} \ \ \Leftrightarrow y \cdot (1+x ) = x \ \ \Leftrightarrow \ \ y + yx = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ x - yx = y \ \ \Leftrightarrow \ \ x \cdot (1 - y) = y \ \ \Leftrightarrow \ \ x = \frac{y}{1 - y} \end{eqnarray*}$

Und dann frage ich DaniXYZ: Was war daran jetzt wirklich schwer? Und wie geht die Rechung für $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ ? Und wie kriegt man die Fälle $\begin{eqnarray*} x = \pm \infty \end{eqnarray*}$ da noch hinein?

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