Dichte/Verteilungsfunktion

23.04.2007, 20:02

kingskid

Dichte/Verteilungsfunktion

Hallo,

so wie ich das verstanden hab, ist ja das Integral der Dichte einer ZVen die Verteilungsfunktion. Ist nun wohl eher eine analytische frage, aber mir ist das mit dem uneigentlichen Integral noch nicht ganz klar.

...z.B. sei die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{1+x} \cdot 1_{\{0,e^2-1\}} \end{eqnarray*}$

dann müsste ja die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u) du = ln(1+x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq e^2-1 \end{eqnarray*}$ sein.

Aber wie funktioniert das mit der uneigentlichen grenze genau?

edit: oder kann man das einfach "nicht beachten" weil die funktion dort nur Null ist...?

23.04.2007, 20:40

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Zitat:

Original von kingskid
...z.B. sei die Dichte $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{1+x} \cdot 1_{\{0,e^2-1\}} \end{eqnarray*}$

Schlechtes Beispiel, denn das ist keine Dichte:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f(x) ~ \dd x = 2 \end{eqnarray*}$

im Widerspruch zum Wert 1, der das rauskommen muss.

23.04.2007, 21:01

kingskid

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ok,... wie ist es hiermit:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{2(1+x)} \cdot 1_{\{0,e^2-1\}} \end{eqnarray*}$

23.04.2007, 21:09

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Schon besser, jetzt ist es eine Dichte. Aber was ist denn nun eigentlich das Problem? Uneigentliche Integrale solltest du doch kennen, und wenn der Integrand intervallweise Null ist, dann kann man das entsprechende Intervall beim Integrieren weglassen - ist doch klar.

23.04.2007, 21:30

kingskid

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hm, gut, danke dann ist es kein problem mehr.
...aber warum ist die verteilungsfunktion dann für $\begin{eqnarray*} x > e^2-1 \end{eqnarray*}$ gleich 1, oder ist sie das gar nicht?

23.04.2007, 21:33

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Wieso sollte sie das nicht sein? Es ist $\begin{eqnarray*} F(e^2-1)=1 \end{eqnarray*}$ und danach ist die Dichte gleich Null - da bleibt die Integralfunktion natürlich auf ihrem einmal erreichten Wert 1 stehen.

Wenn weiter derartige Fragen diskutiert werden, verschiebe ich das ganze mal nach Analysis - da gehört es nämlich eigentlich hin... Augenzwinkern

23.04.2007, 21:53

kingskid

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ja, sorry, kannst die fragen gerne verschieben...

nur warum bleibt die integralfunktion dann auf 1 stehen?

23.04.2007, 22:02

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Ich dachte die Frage wäre beantwortet??? geschockt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^x ~ f(u) ~ \dd u = \int\limits_{-\infty}^{e^2-1} ~ f(u) ~ \dd u ~ + ~ \int\limits_{e^2-1}^x ~ f(u) ~ \dd u = F(e^2-1) ~ + ~ \int\limits_{e^2-1}^x ~ 0 ~ \dd u = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>e^2-1 \end{eqnarray*}$

23.04.2007, 22:29

kingskid

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ahh :lightbulb: , jetzt ist sie ganz beantwortet Freude

Vielen Dank!

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