Tangente an einem Kreis/Kugel

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10.12.2004, 16:38	Sith	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente an einem Kreis/Kugel Hallo, ich habe folgende Augabe: Ein Kreis mit (x-M(2,1))^2 und r=20 soll von einer Gerade tangential geschnitten werden g: (400,270) + u(x,-1) Man soll nun für x einen Wert herausbekommen, damit g eine Tangente zu K ist.
10.12.2004, 16:49	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Schaust du erst einmal dort nach? http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=580 Johko
10.12.2004, 16:55	Sith	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich doch, ich habe darüber hier nichts gefunden!
10.12.2004, 17:31	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du einen Kreis mit einer Geraden schneidest, so kommst du auf eine quadratische Gleichung und es gibt folgende Möglichkeiten: Du kriegst 2 Schnittpunkte raus, wenn die Gerade Sekante war. Du kriegst 1 Schnittpunkt raus, wenn die Gerade Tangente war. Du kriegst keinen Schnittpunkt raus, wenn die Gerade Passante war. Eine quadratische Gleichung hat 2 Lösungen ( = Schnittpunkte), wenn der Ausdruck unter der Wurzel > 0 ist. 1 Lösung, wenn der Ausdruck unter der Wurzel 0 ist. Keine Lösung, wenn der Ausdruck unter der Wurzel < 0 ist. Zuerst würd ich aber deine Gerade umschreiben, bei der du übrigens auf der linken Seite vergessen hast zu schreiben: X = ... X = (400 / 270) + u * (d / - 1) Denn der Punkt X hat die Koordinaten: (x / y)..daher gilt nun für deine Gerade: x = 400 + u*d y = 270 - 1 u Und nun in die Kreisgleichung für x und y einsetzen, dann kommst auf deine quadratische Gleichung. d musst du behandeln, als wäre es eine Zahl, denn u ist deine Unbekannte. Wenn du nicht weiter weißt, poste nochmal......dann helf ich dir weiter... lg kiki
11.12.2004, 00:11	Sith	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort. Soweit war ich allerdings auch schon. Geradengleichung in Kugelgleichung einsetzen: 230765+796du+d^2u^2-538u+u^2=400 ist mein bisheriges Ergebnis. Du hast geschrieben, ich müsse d wie eine Zahl behandeln. Wie meinst du das? Ich habe nämlich arge Probleme mit dem Auflösen. Wenn ich nachher ein (oder 2?) Ergebnisse für u habe, was mache ich dann damit`? In die Geradengleichung einsetzen? Was bringt mir denn das? Ich will ja schließlich d herausbekommen...
11.12.2004, 00:58	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ein u².... u und Zahlen.......also hast du eine quadratische Gleichung, die du mit p-q-Formel auflösen kannst. Aber zuerst mal deine Gleichung nach Potenzen anordnen und dabei musst du d so behandeln, als wäre d eine Zahl: Zuerst muss u² stehen, dann u und dann die Zahl....= 0 daher steht da dann: d²u² + u² + 796du - 538 u +230365 = 0 nun hast du 2 Ausdrücke mit u² und 2 Ausdrücke mit u....damit das nur noch 1 Ausdruck ist, klammerst du u² aus und u aus: (d² + 1) * u² - ( 538 - 796d) * u + 230365 = 0 Damit man nun p-q-Formel anwenden kann, dividierst alles durch (d² + 1) u² - [(538 - 796d)/(d² + 1)] * u + 230365/(d² + 1) = 0 u1,2 = (269 - 398d)/(d² + 1)] +/- sqrt( [(269 - 398d)/(d² + 1)]² - 230365/(d² + 1) ) Und wenn die Gleichung nur einen Schnittpunkt (und dann muss die Gerade Tangente gewesen sein) haben soll, muss unter der Wurzel 0 herauskommen. Daher setzt du nun den Ausdruck unter der Wurzel 0: [(269 - 398d)/(d² + 1)]² - 230365/(d² + 1) = 0 Nun auf gemeinsamen Nenner bringen, dann kann man den Nenner automatisch weglassen: (269 - 398d)² - 230365 * (d² + 1) = 0 Nun weiter ausrechnen ........dann kriegst für d zwei Zahlen heraus. Weil es 2 Tangenten an den Kreis gibt, die parallel zu deiner gegebenen Geraden sind. Dann setzt du für d1 und d2 jeweils in die Geradengleichung ein und hast deine 2 Tangenten. lg kiki
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12.12.2004, 18:16	Sith	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine umfangreiche Antwort. Sie hat miir sehr geholfen. Eine Kleinigkeit verstehe ich jedoch nicht: Aus u² - [(538 - 796d)/(d² + 1)] * u + 230365/(d² + 1) = 0 wird bei dir nach Ánwendung der pq-Formel u1,2 = (269 - 398d)/(d² + 1)] +/- sqrt( [(269 - 398d)/(d² + 1)]² - 230365/(d² + 1) ) Stimmt das p/2? Müsste das nicht: [538 - 796d)/(d² + 1)]*2 heißen? Ich habe übrigens für d1=0,35581 und für d2=1,13116 herausbekommen. Welchse Ergebnis stimmt nun? Es war schließlich nur nach einer Tangente gefragt und die Geradengleichung war ja schon durch x=(400/270 + u(d/-1) teilweise vorgegeben.
12.12.2004, 21:30	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann aus 538 und 796 die Zahl 2 ausklammern.....und somit mit deiner 2 im Nenner kürzen, dann kommt das raus, was ich für -p/2 stehen hab. Mein 1. Blick bei Brüchen gilt immer: Kann ich kürzen? Da müssen 2 Tangenten rauskommen, denn stell dir folgendes vor: Zeichne einen Kreis und irgendwo weit daneben eine Gerade. Und nun sollst du diese Gerade zur parallelen Tangente an den Kreis machen. Da gibt es nun 2 Tangenten, die parallel zu dieser Geraden sind. Die eine ist rechts an den Kreis herangezogen, die andere hat die gleiche Richtung und ist links an den Kreis herangezogen. Daher sind beide d's richtig. lg kiki
12.12.2004, 21:40	Sith	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe war aber so gestellt dass M eine Radarstation sein sollte und dass man von (400/270) per Schiff an dieser vorbeikommen sollte, ohne in den Bereich von 20=r zu kommen. Die eine der beiden Tangente, die möglich wäre, führt nun aber "über Land". Das heißt, diese Lösung ist deshalt nicht möglich. Wie bekomme ich heraus, welche Lösung nun die richtige ist?
12.12.2004, 21:42	Sith	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du meine beiden Werte für d nachvollziehen? Du meintest, man könne ausklammern usw., stimmt mein Ergebnis dann eigentlich noch oder ist das dann falsch? Gruß, Sith
12.12.2004, 22:07	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Es dürfte keinen Unterschied machen, ob man das gekürzt rechnet oder ungekürzt. Aber ich hab - beim schnellen Ausrechnen - für d 2 andere Werte rausbekommen... d1 = 0,2147.... und d2 = - 3,19028... Kann aber auch sein, dass ich mich irgendwo vertippt hab. Rechne es mal mit meiner Version aus. Zu den beiden Resultaten. Solang in der Angabe keine näheren Angaben darüber stehen, wo sich das Land befindet, kannst du auch nicht eruieren, welche von diesen beiden Lösungen die "richtige" ist. Daher musst du beide angeben. Könnte ja auch sein, dass die Radarstation sich im Meer befindet.... lg kiki

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