Matrizen |
10.12.2004, 17:38 | Matthias22 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Matrizen Kann mir hier jemand helfen? Für A E K^(n x n) schreibt man A^2 = A*A, A^3 = A*A*A, usw... Berechnen Sie A^n für alle n E N mit (a) A= (3 -1 / 3 -2), (-->matrix: 1.Zeile/2.Zeile) (b) A = ( cos (/alpha) - sin (/alpha) / sin (/alpha) cos (/alpha) ), (c) A= ( (/lamda) 1 / 0 (/lamda) ). mit Induktion nach n. Bin für jede Hilfe sehr dankbar!!!! |
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10.12.2004, 17:59 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » |
erst mal die ersten ausrechnen mit matrizenmultiplikation und daraus eine vermutung beschaffen... dann kannst du's induktiv machen... rechne doch mal jeweils die ersten 3/4 matrizen aus und melde dich dann noch mal... vielleicht kommst damit ja auch weiter.... mfg jochen ist z.b. A^3 gerade wieder A ist die sache ja einfach..... oder sowas in der art... |
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11.12.2004, 19:30 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das allgemeine Verfahren um so etwas auszurechnen funktioniert über Diagonaliesieren. Also man findet eine orthogonale Matrix O und eine Diagonalmatrix D mit A=0*D*O^-1 . Dann ist A^n = O*D^n * O^-1 . Das geht immer, ist aber sehr lang und aufwendig und glaube ich auch nicht das was ihr hier tun sollt. Indukion sieht viel einfacher aus. Bei der ersten muss man wahrscheinlich mühselig von Hand die ersten 3 oder 4 Potenzen ausrechnen und das eine Formel vermuten. Die 2. ist eine Drehung um den Winkel \alpha. Die n-te Potenz davon ist eine Drehung um den Winkel n*\alpha. Bei der letzten bleibt die 0 erhalten, die \lamba werden zu \lamba^n und die 1 wird zu n*\lambda^n-1 Das sollte sich per Induktion auch alles ganz gut zeigen lassen :-) |
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