Flächen unterhalb der x-Achse

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24.04.2007, 11:34

Duffman

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Flächen unterhalb der x-Achse

Hallo Forummembers! Wink

Ich krieg gerade voll einen zu viel mit dieser Aufgabe hier. Hammer

Es handelt sich um Integralrechnung.

Die Aufgabenstellung lautet "Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [a;b]".
D.h der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse ober- und unterhalb der x- Achse soll berechnet werden.

Die dazugehörige Funtion ist $\begin{eqnarray*} f(x)= x^{2} -3x \end{eqnarray*}$ und das Intervall [-1;4].

Auf dem schriftlichen Weg habe ich 8,16666667 herausbekommen.
Dies wollte ich nun mit meinem Taschenrechner, dem TI-83 Plus (Texas Instruments), nachprüfen - was bei Aufgaben bei denen die zu berechnenden Flächen oberhalb der x-Achse waren auch immer funktioniert hat.
Und zwar gebe ich die Funtion bei "y=" ein, gehe auf den Befehl "CALC -> 7" und gebe die unter und die obere Intervallgrenze an.
Nun gibt der Taschen rechner auf einmal -0,83333333 als Lösung an. Das kann meines Erachtens aber nicht Stimmen, denn es ist viel zu wenig.

Ich habe mir das mal genauer angeguckt und mit ist aufgefallen, dass der Taschenrechner einfach die Fläche unterhalb der x-Achse von der Fläche oberhalb der x-Achse abzieht. Also 3,66666667 - 4.5 = -0,83333333

Das ist doch aber Schwachsinn oder nicht? Man kann doch die Fläche unterhalb der x-Achse nicht als "negetive Fläche" ansehen.

Hat jemand eine Ahnung, wie man das mit dem Taschenrechner richtig ausrechnet bzw. was man umstellen muss?
Oder rechne ICH falsch?

Ich hoffe auf hilfreiche Antworten!!

MfG

Duffman

24.04.2007, 11:38

tigerbine

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RE: Flächen unterhalb der x-Achse
$\begin{eqnarray*} f(x)= x^{2} -3x = x(x-3) \end{eqnarray*}$

Zu Berechnen ist die eingeschlossene Fläche, also:

$\begin{eqnarray*} A = \int_{-1}^{0}~f(x) ~dx - \int_0^3~f(x)~dx + \int_3^4~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2]_{-1}^0-[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2]_0^3+[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2]_3^4 \end{eqnarray*}$

EDIT: Umbenennung...

24.04.2007, 11:40

klarsoweit

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RE: Flächen unterhalb der x-Achse

Zitat:

Original von Duffman
Das ist doch aber Schwachsinn oder nicht? Man kann doch die Fläche unterhalb der x-Achse nicht als "negetive Fläche" ansehen.

Doch kann man. So, wie das Integral definiert ist, hat es eben diese Eigenschaft. Augenzwinkern

24.04.2007, 11:40

Bjoern1982

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Zitat:

Das ist doch aber Schwachsinn oder nicht? Man kann doch die Fläche unterhalb der x-Achse nicht als "negetive Fläche" ansehen.

Oh doch....das muss man sogar, denn Flächen sind immer positiv.

Deswegen sollte man beim Integrieren auch immer Betragsstriche verwenden, weil diese ja immer positive Flächenmaße provozieren.

Gruß Björn

24.04.2007, 11:46

mYthos

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Nicht ganz so!

Es ist kein Schwachsinn, dass die Fläche unterhalb der x - Achse als negativ ausgegeben wird. Sie hat nämlich, wenn man sie so umläuft, dass man auf der x-Achse von links nach rechts geht, tatsächlich einen negativen Umlaufsinn (rechts orientiert), deswegen spricht man auch von einer orientierten Fläche, und die ist in diesem Falle negativ.

tigerbines Integral ist dahingehend zu interpretieren, dass die Flächen immer nur bis zu den Nullstellen (als Grenzen) berechnet werden dürfen. In Abänderung sind zur Sicherheit dann alle Flächen absolut (positiv) zu nehmen und erst dann zu addieren, dann kann nichts schiefgehen.

mY+

@..bine: Die einzelnen Flächen absolut nehmen oder bei der mittleren die Grenzen vertauschen (wegen der o.a. Orientierung)

24.04.2007, 11:56

Duffman

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Was ist jetzt also die richtige Lösung? 8,16666667 oder -0,833333333 ?

Wenn man jetzt den Inhalt aller Flächen zusammen ausrechnet, soll man dann von allen Flächen nur den Betrag addieren?

Rechnet mein Taschenrechner jetzt also falsch?

24.04.2007, 11:59

Bjoern1982

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Wie gesagt...ein negatives Ergebnis kann bei einer Flächenberechnung niemals rauskommen.

Und ja....wenn du jeweils immer den Betrag eines Integrals addierst bist du immer auf der sicheren Seite und musst dir nicht darüber Gedanken machen, wann der Graph ober oder unterhalb der x-Achse verläuft smile

Gruß Björn

24.04.2007, 12:03

tigerbine

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Also, in Formeln:

$\begin{eqnarray*} A = |\int_{-1}^{0}~f(x) ~dx|+|\int_0^3~f(x)~dx| + |\int_3^4~f(x)~dx| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=|[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2]_{-1}^0|+|[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2]_0^3|+|[\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2]_3^4| \end{eqnarray*}$

Ausrechnen wirst du doch noch schaffen, oder?

Edit: Umbenennung

24.04.2007, 12:09

mYthos

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Nochmals (bitte doch das o.A. genauer lesen): Der TR rechnet - algebraisch bzw. analytisch - natürlich nicht falsch! Er addiert einfach die orientierten Flächeninhalte (also mit Vorzeichen), was jedoch rein geometrisch in der Praxis keinen Sinn macht*. Deshalb: Die einzelnen Flächen berechnen und danach die Absolutwerte addieren.

*In bestimmten anderen Bereichen, z.B. in der Physik, kann jedoch die Addition der orientierten Inhalte eine ganz andere - und damit sinnhafte - Bedeutung haben: Beschreibt die Funktionskurve zum Beispiel die Arbeit in Abhängigkeit von der Zeit, dann ist die Ausgabe des Taschenrechners die tatsächlich verbrauchte Energie und daher das auch in der Praxis einzig richtige Ergebnis.

mY+

24.04.2007, 12:15

Duffman

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Ok, vielen Dank!
Das heißt, dass meine Rechnung richtig war.

Aber es kennt sich nicht zufällig einer mit dem TI-83 Plus aus, der mir sagen kann, wie man das damit fehlerfrei ausrechnen kann?

@tigerbine

Da am Anfang der Formeln, wo du F(x)= stehen hast, muss doch eigentlich A= hin, weil wir ja den Flächeninhalt ausrechnen wollen und keine Stammfunktion, oder? Das kannste ja noch editieren.

24.04.2007, 12:17

tigerbine

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F: Fläche in Abhängigkeit von x

Ein tragisches Schicksal der Mathematik, dass wir so wenige Buchstaben haben Augenzwinkern

Wenn es Dich aber zu sehr verwirrt... Dann ändere ich es... smile

Edit: Done

24.04.2007, 12:19

Duffman

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Danke

24.04.2007, 12:37

mYthos

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Zitat:

Original von Duffman
...
Aber es kennt sich nicht zufällig einer mit dem TI-83 Plus aus, der mir sagen kann, wie man das damit fehlerfrei ausrechnen kann?
...

Wie schon mehrmals gesagt: MIT dem TR die einzelnen Flächen berechnen, Beträge nehmen, speichern und addieren.

mY+

24.04.2007, 13:18

klarsoweit

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RE: Flächen unterhalb der x-Achse
Wobei man bei der obigen Funktion keinen Taschenrechner braucht. Das kann man alles so rechnen. Das haben wir früher immer so gemacht. Augenzwinkern

Und wenn ich so Ergebnisse wie dieses sehe:

Zitat:

Original von Duffman
Auf dem schriftlichen Weg habe ich 8,16666667 herausbekommen.

dann kommt mir gerade mein Mittagessen wieder hoch.

Tschuldigung, das mußte mal gesagt werden. Augenzwinkern

24.04.2007, 13:47

Duffman

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@klarsoweit

Wieso jetzt?
Ist das ergebnis falsch?? geschockt

Oder meinst du weil ich die Periode 3 ausgeschrieben habe, weil ich nicht weiß wo beim Beitragerstellmenü das Periodezeichen ist?