Binomialkoeffizienten

10.12.2004, 22:34	Bier	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizienten Tja also hier meine Frage: $\begin{eqnarray} {2k \choose k}:2^{2k}=\frac{13...(2k-1)}{24...(2k)} \end{eqnarray}$ Wie kommt man da drauf, ich mein man fängt doch so an: $\begin{eqnarray} {2k \choose k}:2^{2k}=\frac{2k(2k-1)(2k-2)...(2k-k+1)}{k!2^{2k}} \end{eqnarray}$ wenn man jetzt mit $\begin{eqnarray} 2^k \end{eqnarray}$ kürzt, dann erhält man doch: $\begin{eqnarray} \frac{k(k-1/2)(k-1)...(k-1/2k+1/2)}{k!2^k} \end{eqnarray}$ Aber was macht man jetzt?? Helft mir!! edit: Titel geändert, was hat das mit Asterix zu tun?? Bitte wähle einen aussagekräftigen Titel. (MSS)
10.12.2004, 22:50	murray	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asterix der Gallier Vollständige Induktion mit Induktionsanfang k=1 Dann Induktion mit: $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix}2\cdot (k+1) \\ k+1 \end{pmatrix}}{2^{k+1}}=\frac{\begin{pmatrix}2\cdot k \\ k\end{pmatrix}}{2^{k}}\cdot \frac{2\cdot (k+1)-1}{2\cdot (k+1)} \end{eqnarray}$ Edit: Wär Alternativvorschlag (Zu dem was immer du vorhast)! mfg
10.12.2004, 22:52	pimaniac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asterix der Gallier $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} =\frac{(2k)!}{k!k!}= \frac{2(2k-1)2(2k-3)2(2k-5)...52321}{1234...(k-1)k} \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt oben die k 2er kürzt und unten die k Terme mit zwei multipliziert kommt man auf die gewünschte Relation.
10.12.2004, 22:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Asterix der Gallier Günstiger ist hier die Darstellung $\begin{eqnarray} {2k\choose k} = \frac{(2k)!}{k!^2} \end{eqnarray}$ Jetzt kürzt du aus dem Zähler nur die geraden Faktoren, deren Produkt ist genau 2^k*k!, schon bist du fertig. EDIT: Tja, pimaniac war schneller...

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