Funktion für Binomialverteilung

11.12.2004, 13:16

grumml

Funktion für Binomialverteilung

grumml... also, fragen muss ich wohl mal wieder.

Es geht um die Beschreibung von binomialverteilten Zufallsgrößen und der lokalen Näherung.

Wir legen über die binomialverteilte Zufallsgröße die Gauß'schen Glockenkurve:
$\begin{eqnarray*} \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} *e^{-\frac{1}{2}x^{2} } \end{eqnarray*}$

Die verschieben wir so, dass daraus die Lokale Näherung von Laplace wird:
$\begin{eqnarray*} \phi(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} *e^{-\frac{1}{2}( \frac{x-\mu}{\sigma})^{2} } \end{eqnarray*}$

Diese ist achsensymmetrisch um den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und beschreibt nur Bernoullis mit $\begin{eqnarray*} n*p*q\geq 9 \end{eqnarray*}$ .

Dass jeder Bernoulli der Form: $\begin{eqnarray*} B(n;p;k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ zum Erwartungswert symmetrisch ist, ist klar.

Aber für jedes $\begin{eqnarray*} p\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , ist die Kurve keineswegs symmetrisch.

Wenn ich z.B. den Bernoulli $\begin{eqnarray*} B(100;0.8;k) \end{eqnarray*}$ betrachte und soll nun ein k bestimmen, für welches mindestens 95% aller Treffer in dem Bereich $\begin{eqnarray*} [\mu-k;\mu+k] \end{eqnarray*}$ liegen, gingen wir in der Schule stets davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \int_{\mu-k}^{\mu}~\phi(x)~dx =\int_{\mu}^{\mu+k}~\phi(x)~dx \end{eqnarray*}$ ist.
Dies ist aber doch bei $\begin{eqnarray*} p\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ niemals der Fall. Ich muss doch eigentlich ein $\begin{eqnarray*} \int_{\mu-f}^{\mu}~\phi(x)~dx =\int_{\mu}^{\mu+k}~\phi(x)~dx \end{eqnarray*}$ betrachten, oder?

Meine Frage nun: Wie komme ich nun auf, oder wo finde ich nun eine korrekte Kurve, die mir die Verteilung der Bernoullis angibt?

Am konkreten Beispiel gefragt: Ich nehme $\begin{eqnarray*} B(100;0,8;k) \end{eqnarray*}$ und das Signifikanzniveau 95%.
Jetzt kann ich auf 2 Arten fragen:
1) Die 5% außerhalb von $\begin{eqnarray*} [\mu-f;\mu+g] \end{eqnarray*}$ verteilen sich symmetrisch zu 2,5% auf jeder Seite. Wo liegen f und g?
2) $\begin{eqnarray*} f=g \end{eqnarray*}$ . Wie ist die prozentuale Verteilung von $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{f}~\phi(x)~dx :\int_{g}^{+\infty}~\phi(x)~dx \end{eqnarray*}$ ?

Wie berechne ich nun diese Fragen, ohne die einzelnen Bernoullis nachzuschlagen und zu addieren?

Ich dachte mir folgendes: Wir betrachten die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ und das Ziel soll doch sein, ein gewisses Symmetrieverhältnis von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^f~B(100;0,8;k) : \sum_{k=g}^{100}~B(100;0,8;k) \end{eqnarray*}$ zu finden.
Da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ja symmatrisch ist, müsste man doch nur noch eine Symmetrieform von $\begin{eqnarray*} p^{k}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ finden.

Wie/Wo finde ich so eine Form?

...hm... ob ich damit irgendwen erreichen werde? Wär mir auch zu lästig, alles zu lesen...

naja, hoffe, es ist einem zu langweilig und nimmt sich die Zeit. Wenn nicht, hab ich auch verständnis dafür. Augenzwinkern

grumml....

13.12.2004, 15:37

grumml

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...so, jetzt stehts wieder oben und kann sich mit 1.Beitrag wieder nach unten arbeiten... Augenzwinkern

grumml...

13.12.2004, 17:12

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Symmetrie bleibt beim Grenzübergang erhalten (der Fall p=1/2 zeigt es).

Schon mal daran gedacht, dass du mit dem Umkehrschluss
("Nicht-Symmetrie bleibt ebenfalls im Grenzübergang erhalten")
auch voll daneben liegen kannst? verwirrt

13.12.2004, 19:45

grumml

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hum.... willst Du damit sagen, dass es doch wieder symmetrisch wird, oder dass es so virtous unsymmetrisch ist, dass man noch wesentlich mehr Überlegungen einfließen lassen muss um die Formel zu finden?

wo geht sie hin, die nicht-symmetrie?

13.12.2004, 19:52

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Zitat:

Original von grumml
wo geht sie hin, die nicht-symmetrie?

Salopp gesagt: sie konvergiert gegen Null.

Im Ernst, laut Zentralem Grenzwertsatz von Moivre-Laplace konvergiert die (passend normierte) Binomialverteilung gegen die Normalverteilung - und die ist bekanntlich bezüglich ihres Erwartungswertes symmetrisch, auch bei zugrunde liegender Binomialverteilung mit p unleich 1/2.

13.12.2004, 20:48

grumml

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...heyhey, sehr interessant.

hab dank...

14.12.2004, 20:51

Anirahtak

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Hallo Grumml,

hier kannst du dir das mal simulieren lassen:
http://www.mathematik.ch/anwendungenmath...ox_bin_norm.php

Gruß
Anirahtak

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