Basis

11.12.2004, 13:37	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Hallo! Mal wieder eine Aufgabe, die mir ein wenig schwer fällt: Ergänzen Sie die Vektoren v1 = (1, 2,-1, 1) und v2 = (3, 1/2 , 2, 2) in R^4 zu einer Basis von R^4. O.K. also die Definition von Basis: Es muss ein freies Erzeugendensystem sein?! Also, Bed. für ein linear unabhängiges System (=frei): $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ 1 * v1 + $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ 2 * v2 = 0 Oder bin ich auf der falschen Fährte?
11.12.2004, 15:17	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht ganz richtig. Eine Basis des R^4 hat 4 linear Unabhängige Vektoren also $\begin{eqnarray} \lambda_1\vec{a} + \lambda_2\vec{b} + \lambda_3\vec{c} + \lambda_4\vec{d} = 0 \end{eqnarray}$ genau dann linear Unabhängig wenn alle lambda 0 sind. Nun Du hast 2 Vektoren gegeben. Du kannst jetzt entweder 2 Vektoren bestimmen und schaun ob sie linear Unabhägnig sind oder Du baust Dir mit den zwei Vektoren eine 4x4 Matrix deren Determinante ungleich 0 ist. Aber vorsicht, die Vektoren musst Du dann als Zeilen betrachten!
12.12.2004, 14:46	Assal	Auf diesen Beitrag antworten »
mmh, mit Matrizen hatten wir nur die Google-Matrix durchgenommen und Determinanten sagen mit nicht viel... wie bestimme ich denn die anderen zwei Vektoren?
12.12.2004, 15:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Matzes Definition der linearen Unabhängigkeit ist sehr mißverständlich. Hier kommt es auf jedes Wort an! Vier Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \; , \; \vec{b} \; , \; \vec{c} \; , \; \vec{d} \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig, wenn $\begin{eqnarray} \text{aus} \ \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} + \delta \vec{d} \ = \ \vec{o} \ \ \text{folgt:} \ \ \alpha = \beta = \gamma = \delta = 0 \end{eqnarray}$ wenn sich also der Nullvektor trivial aus den vier Vektoren linear kombinieren läßt. Ich würde dir für die Lösung der Aufgabe raten, einfach zwei (möglichst einfache) Vektoren (z.B. $\begin{eqnarray} (1,0,0,0) \; , \; (0,1,0,0) \end{eqnarray}$ ) hinzuzunehmen. Dann überprüfst du, ob alle vier Vektoren linear unabhängig sind. Wenn ja, bist du fertig. Wenn nein, dann änderst du einen der beiden Vektoren noch etwas ab und schaust, ob die vier Vektoren jetzt linear unabhängig sind.

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