Konvergenz von Integralen

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24.04.2007, 16:24	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Integralen Hallo, ich soll überprüfen, ob folgendes Integral konvergiert: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-2\mid x\mid }~dx \end{eqnarray}$ Aber egal was ich probiere, bekomme ich das nicht hin. Wahrscheinlich habe ich das nicht drauf. Kann mir da jemand weiterhelfen? Schon mal vielen Dank im Voraus.
24.04.2007, 16:28	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich würde das Integral mal aufspalten in $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^0 \mathrm{e}^{-2\|x\|}\dd x + \int_{0}^\infty \mathrm{e}^{-2\|x\|}\dd x \end{eqnarray}$ und jetzt überlege dir was für die beiden Beträge im Exponenten gilt. Gruß, therisen
24.04.2007, 16:36	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Aufspalten hatte ich schon. x ist aufgrund des Betrags immer positiv. Da -2 davor steht, wird der Exponent deswegen immer negativ.
24.04.2007, 16:36	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das meinte ich nicht. Eher, dass $\begin{eqnarray} \|x\|=-x \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ usw.
24.04.2007, 16:39	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm. Das bringt mich jetzt aber irgendwie nicht weiter.
24.04.2007, 17:06	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht bringt dich ja $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^0 \mathrm{e}^{-2\|x\|}~\dd x = \int_{-\infty}^0 \mathrm{e}^{2x}~\dd x \end{eqnarray}$ weiter... Gruß, therisen
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24.04.2007, 17:12	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm. Wenn ich das richtig sehe und verstehe, müsste das Integral dann gegen 0 konvergieren oder? $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^0 \mathrm{e}^{2x}~\dd x+ \int_{0}^\infty \mathrm{e}^{-2\|x\|}~\dd x \end{eqnarray}$
24.04.2007, 17:19	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das siehst du leider falsch. Allein schon durch geometrische Anschauung ist das nicht möglich...
24.04.2007, 17:22	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Also irgendwie verstehe ich das nicht richtig und weiß auch nicht woran da liegt. Ich komme da nicht weiter
24.04.2007, 17:24	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Schaffst du es wenigstens $\begin{eqnarray} \int_{0}^\infty \mathrm{e}^{-2\|x\|}~\dd x \end{eqnarray}$ betragsfrei zu bekommen?
24.04.2007, 17:40	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm. ich glaube ich bekomme nicht mal das hin. Also an der Aufgabe bin ich richtig am verzweifeln.
24.04.2007, 17:42	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich empfehle dir dringend http://de.wikipedia.org/wiki/Absolutbetrag durchzulesen. Du solltest wenigstens wissen, wie du $\begin{eqnarray} -2\|x\| \end{eqnarray}$ betragsfrei schreiben kannst....
24.04.2007, 17:49	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Also für alle $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ müsste gelten: $\begin{eqnarray} \int_{0}^\infty \mathrm{e}^{-2\|x\|}~\dd x = \int_{0}^\infty \mathrm{e}^{-2x}~\dd x \end{eqnarray}$ Oder habe ich das wieder falsch verstanden?
24.04.2007, 17:55	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jetzt stimmt es endlich. Jetzt berechne diese beiden Integrale und schon bist du fertig
24.04.2007, 18:04	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen? Heißt das, ich muss einsetzen? Muss ich keine Stammfunktion bilden?
24.04.2007, 18:16	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich musst du eine Stammfunktion bilden. Das wird von "Berechnen" impliziert
24.04.2007, 18:36	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dieser Schritt dann so richtig? $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^0 \mathrm{e}^{2x}~\dd x+ \int_{0}^\infty \mathrm{e}^{-2x}~\dd x = [\frac{1}{2} e^{2x}]_{-\infty }^0 + [-\frac{1}{2} e^{-2x}]_{0}^\infty \end{eqnarray}$
24.04.2007, 18:43	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal nein, inhaltlich ja
24.04.2007, 18:56	martin85	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist da formal falsch?
24.04.2007, 20:07	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal falsch ist, dass $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ keine reelle Zahl ist. Außerdem weißt du ja gar nicht, ob das uneigentliche Integral überhaupt konvergiert. Deshalb musst du formal korrekt immer den Limes mitführen. Gruß, therisen

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