Multiplikation von Blockmatrizen

24.04.2007, 16:54

Dunkit

Multiplikation von Blockmatrizen

Hey!
Wenn ich zwei MAtrizen miteinander multiplizieren will, die in blöcke eingeteilt sind, wie mache ich das nochmal? finde mein Skript gerade nicht -.-:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A & B \\ -B & A \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis müsste di Einheitsmatrix sein, aber wie gehe ich bei der Multiplikation nochmal genau vor???

24.04.2007, 17:08

tigerbine

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RE: Multiplikation von Blockmatrizen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A & B \\ -B & A \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Block (11)

$\begin{eqnarray*} A^2+B^2 \end{eqnarray*}$

Block (12)

$\begin{eqnarray*} AB-BA \end{eqnarray*}$

Block (21)

$\begin{eqnarray*} BA-AB \end{eqnarray*}$

Block (22)

$\begin{eqnarray*} B^2+A^2 \end{eqnarray*}$

Sind A,B also kommutativ und A²+B² = I?

24.04.2007, 17:09

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Zitat:

Original von Dunkit
Das Ergebnis müsste di Einheitsmatrix sein

I.a. nicht - es sei denn, $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ haben noch weitere Eigenschaften, von denen du uns noch nix erzählt hast.

Zur Berechnung: Eigentlich völlig "normal", wie du es von Matrizenmultiplikation mit normalen Zahleneinträgen gewohnt bist. Nur die Kommutativität der Multiplikation ist hier nicht gegeben, also bitte nicht leichtfertig vertauschen.

24.04.2007, 17:15

Dunkit

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Also das geht jetzt aber über den Schul-bereich hinaus:

Zitat:

Man zeige
1. Jede Matrix $\begin{eqnarray*} X \in M_n(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ lässt sich eindeutig schreiben als $\begin{eqnarray*} X = A + iB \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A, B \in M_n(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$
2. Mit A.B aus teil 1). Sei $\begin{eqnarray*} X \in U_n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(X) := \begin{pmatrix} A & -B & \\ B & A \end{pmatrix} \in O_{2n} \end{eqnarray*}$

24.04.2007, 17:19

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Ich find's immer etwas mühsam, aus dem Zusammenhang heraus zu errätseln, was denn nun mit $\begin{eqnarray*} M_n,U_n,O_{2n} \end{eqnarray*}$ für Räume gemeint sind... LOL Hammer

24.04.2007, 17:34

Dunkit

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achja, stimmt für außenstehende etwas schwer, sorry Big Laugh

$\begin{eqnarray*} M_n(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ sind die nxn Matrizen mit Elementen aus dem Körper K
$\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ Ist die unitäre Gruppe (nxn) und
$\begin{eqnarray*} O_n \end{eqnarray*}$ demensprechent die orthogonale Gruppe (nxn)

24.04.2007, 17:38

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Solltest du dann nicht eher das Produkt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A^T & B^T \\ -B^T & A^T \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

betrachten?

24.04.2007, 18:15

Dunkit

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oh ja stimmt...
Aber wie komm ich denn drauf, dass $\begin{eqnarray*} A * A^T + B*B^T = 1 \end{eqnarray*}$ ist?

24.04.2007, 18:51

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Du hast noch nicht genutzt, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ unitär ist - was bedeutet das?

24.04.2007, 18:53

Dunkit

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dass $\begin{eqnarray*} X^T \cdot X= E \end{eqnarray*}$ ? und das dann mithilfe der 1. Aufgabe auf A und B "umrechnen" ?

/EDIT: das transponiert an richteige X gemacht

24.04.2007, 18:56

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Zitat:

Original von Dunkit
dass $\begin{eqnarray*} X \cdot X^T = E \end{eqnarray*}$ ?

VORSICHT: Nicht transponiert, sondern konjugiert transponiert:

$\begin{eqnarray*} X \cdot X^* = X \cdot \bar{X}^T = E \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Dunkit
und das dann mithilfe der 1. Aufgabe auf A und B "umrechnen" ?

Ja.

24.04.2007, 19:33

Dunkit

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Also ich bin jetzt bei $\begin{eqnarray*} \overline{X}^T X = (A + iB)(A^T + i \cdot B^T) = A \cdot A^T + A \cdot i \cdot B^T + i \cdot B \cdot A^T - B \cdot B^T = E \end{eqnarray*}$
hmm, aber wieso ist dann $\begin{eqnarray*} A \cdot A^T = E \end{eqnarray*}$ verwirrt

P.S. A und B brauch ich ja nicht zu konjugieren, die sind ja reell, oder?

24.04.2007, 19:45

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Zitat:

Original von Dunkit
P.S. A und B brauch ich ja nicht zu konjugieren, die sind ja reell, oder?

Richtig - aber:

$\begin{eqnarray*} \overline{iB} = \overline{i}\cdot \overline{B} = -i\cdot \overline{B} \end{eqnarray*}$

24.04.2007, 20:18

Dunkit

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ok, die Aufgabe hab ich jetzt Big Laugh

muss da noch eine machen, aber ich glaube die kann ich ;-)

Danke!

24.04.2007, 20:30

Dunkit

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also die Aufgabe ist, zu zeigen,d ass das ein injektiver Gruppenhomomorphisumus von $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} O_{2n} \end{eqnarray*}$ ist. Dass es ein Gruppenhomomorphismus ist habe ich shcon gezeigt. Jetzt hatte ich gedacht ich könnte die Injektivität über die Determinante der Darstellungsmatrix zeigen. (denn wenn die determinante ungleich null, dann ist im kern der abbildung nur die 0, was bedeutet, dass sie injektiv ist (da die beiden GRuppen endlich.dimensional sind))
Aber leider weiß ich nicht, wie ich mir die Daartellungsmatrix bauen soll =(

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