Untervektorraum

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merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum
Also ich habe 2 Systeme die durch die Vektoren:

,

,

Vektoren in

Jetzt soll ich prüfen ob diese Systeme den selben Untervektorraum von erzeugen.

Kann mir jemand einen Ansatz liefern?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

v1,v2 und w1,w2 sind ja jeweils paarweise linear unabhängig, das sieht man, okay? also erzeugen sie jeweils einen 2dimensionalen Unterraum von R3.
also musst du nun nur noch zeigen, das einer der beiden unterräume teilraum ds anderen ist, damit sind sie gleich (einfache inklusion; würdest du das nicht sehen, müsstest du eine doppelte inklusion machen, auch einfach)
das zeigst du, indem du zeigst, das sämtliche basisvektoren des einen raums im anderen liegen.

kommst damit weiter, oder muss ichs noch genauer ausführen?
mfg jochen
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

etwas genauer wäre sehr nett.....
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nagut, also du zeigst im endeffekt das V:=<v1,v2>=<w1,w2>=:W, okay?#
jetzt zeigst du dann halt ausführlich:

x in V => x in W
und
y in W => y in V

also doppelte inklusion, damit müssen die "vektormengen" gleich sein.....

also x in V heißt x=a*v1+b*v2=.....=c*w1+d*w2 => x in W
so muss das etwa aussehen.
x in W =>... analog

mfg jochen
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich fang mal an:












Was mach ich jetzt mit dem Gleichungssystem?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nix, aber du weißt jetzt folgendes:
der vektor x liegt in W, hat also irgendwelche beliebigen koeffizienten (c,d) vor den basisvektoren, dann kannst du solche koeffiezienten (a,b berechnen sich wie du siehst) vor den basisvektoren von V bestimmen, also liegt x dann auch in V.....
damit kliegt jeder vektor in W auch in V unsd somit W Teilmenge V.
jetzt kannst noch V TM W zeigen oder du argumentierst über die dimensionen...

jochen
 
 
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt also andersrum:












Dazu ist doch auch noch zu sagen das:


Reicht das um die Aufgabe zu lösen und die vollen Punkte zu bekommen?

Was meinst Du mit Dimensionen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wieso ist das andersrum? das ist doch im endeffekt dass gleiche wie oben.....
diese richtung ist nicht ganz so einfach wie die andere....

einfache möglichkeit mit dimensionen: hast du 2 unterräume U=<u1,u2,...un>, V=<v1,v2,...,vn>, die die gleiche (endliche!) dimension haben (n), und gilt UcV, so gilt U=V.

beweis:annahme: sei U!=V, dann existiert x aus V mit x in V\U, damit auch <x> in V\U..
=>U = <u1,u2,....un>, V=U vereinigt V\U=<u1,....un> vereinigt <x> vereinigt Z [wobei Z einfach mal die menge aller anderen vektoren aus V\U außer denen im erzeugnis von x bezeichnet, möglicherweise leer].
da x nicht in <u1,....,un> gilt dann V c <u1,.....,un,x> (nur teilmenge, weil evtl. Z nichtleer ist) => dim(V) >= n+1.
WIDERSPRUCH da dim(V) = dim (U) = n

mfg jochen
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz ist mir das leider noch nicht klar bin wohl zu doof traurig

Die eine Richtung habe ich verstanden und auch warum das zweimal das selbe ist.

Da dein Beweis in einem Widerspruch endet ist U doch ungleich V oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein annahme U ungleich V führt zu widerspruch, also U = V
also U, V Untervektorräume der gleichen dimension (liegen vor), U c V (hast du bewiesen): U=V
was genau ist dir grad nicht klar?


alternativ zeige noch zusätzlich: V Teilmenge W:
dazu zeige: v1=a*w1+b*w2; v2=c*w1+d*w2 (also zeige, v1,v2 in W!)
dann gilt : x in V, x=i*v1+j*v2=i*(a*w1+b*w2) + j*(c*w1+d*w2)
das führt zu x= irgendwas*w1+irgendwas*w2 also x in W.

danach hast du WcV (oben gezeigt) und VcW (hier gezeigt), also V=W
das ist das vollständige verfahren mit doppelter inklusion.

mfg jochen
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!!

Jetzt hab ich es verstanden smile

Gruß
merlin25
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

beides?
die doppelte inklusion und das mit der dimension?
merlin25 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja DANKE
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