vollständiger metrischer Raum

24.04.2007, 17:30	summernight	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständiger metrischer Raum Hallo! Ich würde dringend Hilfe gebrachen. Die Aufgabe: Sei X die Menge der ganzen Zahlen, d(m,n) = \|m-n\|. Zeige: (X,d) ist ein vollständig metrischer Raum. Soooooo....................... Also, das es ein metrischer Raum ist hab ich schon bewiesen, dazu muss man ja nur die drei metriaxiome zeigen. Mein Problem liegt beim "vollständigen" metrischen Raum Wie zeige ich dass er vollständig ist??? Def: Ein metrischer Raum (X,d) heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge in X einen Grenzwert besitzt. Wie komm ich da zu meiner Folge, für die ich das zeigen kann?? Bitte helft mir, wär euch echt für jeden Hinweis Dankbar!
24.04.2007, 21:35	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige: Jede Cauchyfolge in (X, d) ist für fast alle n konstant.
24.04.2007, 21:43	summernight	Auf diesen Beitrag antworten »
wie zeige ich das? ich hab leider keine ahnung und bitte daher um irgendeinen hinweiß
24.04.2007, 21:59	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray}$
24.04.2007, 22:32	summernight	Auf diesen Beitrag antworten »
warum <1? (größer 0 is klar, da das epsilon > 0 sein muss)
25.04.2007, 00:18	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst es so wählen, denn die Bedingung für eine Cauchyfolge gilt ja für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ (nach Voraussetzung, denn wir betrachten eine Cauchyfolge). Nehmen wir $\begin{eqnarray} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} \exists n_0\in\mathbb{N}:\forall m,n\geq n_0:\|a_n-a_m\|<\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_m \end{eqnarray}$ sind ganze Zahlen.
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