Induktionsschluss für char. Polynom.

24.04.2007, 18:44	abubaca	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsschluss für char. Polynom. Guten Abend, ich sitze gerade vor einer Aufgabe, die ich morgen früh um 10 Uhr abgeben muss. Es geht darum, dass eine Matrix gegeben ist, mit einer 1 auf der Nebendiagonalen und sonst lauter Nuller außer in der letzten Zeile. $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dazwischen sind natürlich noch ganz viele Nullen usw. Ich weiß nicht wie man diese Punkte darstellt, Sorry. Dazu ist ein Polynom gegeben $\begin{eqnarray} C(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0 \end{eqnarray}$ Man soll zeigen, dass dieses Polynom char. Polynom dieser Matrix ist, habe das mit Induktion gemacht, alles kein Problem, aber im Schluss wo es dann daran geht die Determinante $\begin{eqnarray} det(A-1x) \end{eqnarray}$ auszurechnen komme ich nicht weiter. Wie kann man das am besten hinschreiben? Ich habe schon überprüft, dass das richtige herauskommt, ich verwende nun nämlich diese Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_{n-1} & -a_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe es mit Entwicklung probiert, aber da komme ich nicht weiter, denn n ist ja unbestimmt und ich weiß nicht wie man das am besten notiert, könntet ihr mir bitte weiterhelfen? Die nächste Frage wäre noch warum bei dieser Matrix der Eigenraum dim = 1 hat, wie zeigt man das? Danke euch
24.04.2007, 21:10	abubaca	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner eine Idee, wäre echt dringend! DANKE
24.04.2007, 21:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es klappt doch mit Entwicklungssatz - einfach Entwicklung nach der ersten Zeile. Ich bin jetzt zu faul, die Matrizen hinzuschreiben, aber am Ende kommst du durch diese Entwicklung im Induktionsschritt auf $\begin{eqnarray} C(x) = x\cdot \tilde{C}(x) + a_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tilde{C}(x) = x^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_2x+a_1 \end{eqnarray}$ laut Induktionsvoraussetzung für eine entsprechend reduzierte Matrix gleicher Gestalt. Musst du nur konsequent durchziehen, ohne jegliche Tricks.
25.04.2007, 07:38	abubaca	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Arthur, aber wie oft muss ich das denn dann machen? Reicht nicht schon die Version aus, die du hier hingeschrieben hast? Ich habe ja genau mit diesem "konsequenten durchziehen" meine Probleme! Vielen Dank schon mal
25.04.2007, 08:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann überwinde ich mal meine Faulheit (ich wünschte, mancher Fragesteller würde das auch tun): $\begin{eqnarray} C(x) &=& \det(xE-A) = \det \begin{pmatrix} x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & x & -1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -1\\ a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \end{pmatrix} = x \cdot \det \begin{pmatrix} x & -1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & x & -1\\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 0 & -1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & x & -1\\ a_0 & a_2 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \end{pmatrix} \\[2ex] &=& x\cdot \tilde{C}(x) + (-1)^{n-2} a_0 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & \cdots & 0 & 0\\ x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & \cdots & x & -1\end{pmatrix} = x\cdot \tilde{C}(x) + (-1)^{n-2} a_0 \cdot (-1)^{n-2} = x\cdot \tilde{C}(x) + a_0 \end{eqnarray}$ Zu Beginn der zweiten Zeile erfolgt eine Entwicklung der zweiten Teilmatrix nach der ersten Spalte - die ist mit Ausnahme des $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ in der letzten Zeile durchgängig Null.
25.04.2007, 13:54	abubaca	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein recht herzliches DANKESCHÖN Arthur Dent. Das hat mir echt weitergeholfen, allerdings habe ich jetzt noch ein kleines Verständnisproblem. Im Induktionsschluss schließe ich doch von n -> n+1. Das bedeutet doch mein char. Polynom muss die Form $\begin{eqnarray} C(x)=x^{n+1}+a_nx^n+...+a_1x+a_0 \end{eqnarray}$ haben. Wenn ich aber mit deiner Definition für $\begin{eqnarray} \tilde{C}(x) \end{eqnarray}$ das ganze ausmultipliziere komme ich auf ein Polynom vom Grad n und nicht n+1, steckt da zufällig ein Fehler drin? Vielen Dank nochmal, wenn ich gewüsst hätte wie es geht, hätte ich es auch so hingeschrieben, kannst dich darauf verlassen
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25.04.2007, 14:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Induktionsschluss bei mir ist nicht $\begin{eqnarray} n\to (n+1) \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} (n-1)\to n \end{eqnarray}$ . Das sollte beim aufmerksamen Nachvollziehen eigentlich klar sein!

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