Norm, Hölder-Ungleichung

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Yoko Auf diesen Beitrag antworten »
Norm, Hölder-Ungleichung
Hallo,

und und bekanntlich ist ja


ich will für folgendes Beweisen

Nehmen wir erstmal die erst Ungleichung.Wenn ich q gegen unendlich laufen lasse, dann ist es ja trivial weil es ja dann aus der Jenseschen Ungleichung folgt.
Aber wie ist das denn wenn es nicht gegen unendlich läuft? wenn q=1 ist dann habe ich ja eine Summennorm für q=2 eine euklidische Norm aber weiter weiß ich hier nicht.

Bei der zweiten Ungleichung hilft bestimmt die Hölderungleichung bloß wie ist men Anfang.

Wäre toll wenn mir jemand auch nochmal etwas zur p-Norm erklären könnte, weil vielelicht hilft mir sowas auch schon weiter.

Thanks Yoko
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

die erste ungleichung geht mit Ableiten recht elegant. Man fast die ||x||_p als Funktion von p mit x_i konstant auf. Dann leitet man einmal nach p ab. Das Ergebnis ist >0 für alle p>1 und alle x. Das heisst für ein beliebiges festes x ist die Funktioon ||x||_p streng monoton wachsend, damit folgt
p<q impliziert ||x||_p < ||x||_q
da der Grenzwert für p gegen unendlich existiert kann man die Argumentation noch auf die unendlich norm ausdehnen, der Vorfaktor ist für n>1 immer größer als 1, also auch unproblematisch
Yoko Auf diesen Beitrag antworten »

und gibt es eine Möglichkeit sowas ohne Ableitung zu beweisen?
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