Sehr einfaches Stochastik-Problem

25.04.2007, 06:55

Annabell

Sehr einfaches Stochastik-Problem

Guten Morgen!

Ich hänge hier an einem wahrscheinlich sehr einfachem Stochastik-Problem fest, für das ich peinlicherweise keine Lösung finde. Vielleicht kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen.

Die Firmen A und B stellen ein Produkt vor. Bei Firma A sind 4 von 10 Produkten defekt, bei Firma B sind es 3 von 10.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes defektes Produkt entweder von Firma A, oder von Firma B stammt?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem zufällig ausgewähltem intakten Produkt?

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Ich weiß natürlich, dass die Chance bei Firma A 0,4 und bei Firma B 0,3 liegt, ein defektes Produkt zu erhalten. Aber weiter komm ich nicht.
Kann mir da jemand helfen?

25.04.2007, 09:01

tigerbine

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RE: Sehr einfaches Stochastik-Problem
Also mit deinem letzten Satz solltest du vorsichtig sein. Beim ersten Ziehen mag das vielleicht noch stimmen. aber falls weitere Versuche folgen ist bei einer Grundmenge von 10 doch zu beachten ob mit oder ohne zurücklegen gezogen wird. Ich weise deswegen darauf hin, weil in vielen Abituraufgaben über eine hohe Stückzahl in der Aufgabenstellung die Verwendung des "Ziehen mit Zurücklegens" als Approximaiton für das "Ziehen ohne Zurücklegen" impliziert wird.

In dieser Aufgabe wird nur einmal gezogen, es gibt nur 2 Produkte und 2 Zustände so dass wir schreiben können:

$\begin{eqnarray*} P_A(D) = \frac{4}{10} =0.4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{\overline{A}}(D) = \frac{3}{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(D) = \frac{3+4}{20} = \frac{7}{20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{10}{20} = 0.5 \end{eqnarray*}$

Nun sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P_D(A) \text{ und } P_D(B) \end{eqnarray*}$

gesucht. Beis diesem Stichwort sollte man an des Satz von Bayes denken.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(A|B) \; = \; \frac {P(B|A) \cdot P(A)} {P(B)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_D(A) = \frac{P_A(D)\cdot P(A)}{P(D)} = \frac{\frac{4}{10} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{7}{20}} = \frac{4}{7} \end{eqnarray*}$

Dies kann man sich auch mit einem Baumdiagramm erklären. Dabei steht im Nenner die Anzahl der Äste für Defekten Teile. Im Zähler die Anzahl der sich darunter befindenden Äste mit Firma A.

Firma B schaffst du jetzt alleine. Wink

25.04.2007, 17:57

Annabell

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Hallo tigerbine,

hab den Lösungsweg verstanden, dank Deiner tollen Erklärung. Dank Dir vielmals! Mit Zunge

Liebe Grüße
Annabell

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