dx bei Integralrechnung???

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Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »
dx bei Integralrechnung???
Hallo,
wir sind mit Integralrechnung angefangen und ich verstehe kein Wort......
Was zB heißt das dx, was man hinter die Funktion schreibt, die man integrieren will???
kaethe Auf diesen Beitrag antworten »

wo das d herkommt kann ich dir nicht sagen, jedenfalls zeigt es dir, nach welcher variable du integrieren sollst.
es kann ja auch sein, das eine funktion mehrere hat, wie z.b.



mir fällt jetzt leider kein besseres ein.
jedenfalls weisst du dann, wonach du integrieren musst, dx nach x und dt nach t.
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum integriert man die erste Ableitung einer Funktion?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst auch die zweite ableitung einer funktion integrieren, wenn du willst.
murray Auf diesen Beitrag antworten »

Integriert man F'(x) erhält man F(x)
Integrieren ist komplizierter als differenzieren! Beim differenzieren gibt es Regeln, nach denen man vorgeht (kann jeder Laie)! Beim Integrieren muss man oft Tricks anwenden! Um zu Überprüfen ob eine Integration (von f(x)) richtig war bildet man vom Ergebnis die Ableitung und schaut ob es noch das selbe ist! Integrieren ist sozusagen das Gegenteil von Differenzieren! (Nur wesentlich komplizierter)! Es sollte eher heisen: "Warum bilde ich die erste Ableitung von meiner erhaltenen Stammfunktion?" Antwort: Zur Überprüfung der Integration!
mfg
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

ne, dass meinte ich nicht, wir rechnen immr irgendwie zurück, wenn wir ein Integral gegeben haben...... Und ich glaube wir rechnen auf die Ausgangsfunktion zurück, deshalb muss die Funktion hinter dem Integralzeichen wo die erste Ableitung sein????
Warum integriert man nicht einfach die Ausgangsfunktion?
 
 
farinu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: dx bei Integralrechnung???
hallo

also ganz einfach gesagt ist das integral die umkehrung zur ableitung, d.h. wenn du eine funktion ableitest und die ableitung integrierst erhälst du wieder deine ausgangsgleichung.das dx gibt dir an nach welcher variable du integrierst.

z.B.:


und


wenn du nun nach x ableitest erhälst du
das gleiche erhälst du wenn du nach z ableitest
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »
RE: dx bei Integralrechnung???
also kriet man beim integrieren die Stammfunktion heraus? Und beim Integrieren der 2. Ableitung kriegt man die 1. Ableitung raus?
Aber warum integriert man überhaupt eine Ableitung? Ich dachte, man will die Fläche unter der Stammfunktion wissen?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: dx bei Integralrechnung???
Man integriert die 1. Ableitung, damit man auf f(x) zurückkommt. Sonst könntest ja keine Kurvendiskussion machen, und wüsstest auch nicht, wie die Kurve gezeichnet aussschaut und welche Fläche du berechnen sollst. Außerdem könntest du dann ja auch keine Stammfunktion machen, denn dazu brauchst du ja f(x)....also würdest auch keine Fläche berechnen können. Denn die Fläche kann man nur berechnen, wenn man f(x) integriert...

lg kiki
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »
RE: dx bei Integralrechnung???
und wenn ich dann die erste Ableitung integriert habe und die Stammfunktion habe, und dann die Stammfunktion integriere, kriege ich dann die läche unter der Kurve heraus?
Aber was ist dann der Zahlenwert den ich bei der Integration der ersten Ableitung heraus bekomme, wenn ich n gegen unendlich laufen lasse?
Wieso gibt man nicht sofort die Stammfunktion zum Integreiren, sondern zunächst die erste Ableitung?
PK Auf diesen Beitrag antworten »

najaa, du bekommst nicht direkt die Fläche beim Integrieren.

erstens: der Betrag des Zahlenwertes ist die Fläche von der Funktion bis zu x- Achse im gegebenen Intervall.

zweitens: solltest du eine Nullstelle im Intervall haben, mach zwei INtervalle draus, eins vom Anfang bis zu Nullstelle und ein zweites von der Nullstelle zum Ende des Intervalls, dann die Beträge addieren und du hast die Fläche, weil sonst gibt's Probleme

du bekommst außerdem die Fläche von dem Graphen zur x- Achse von der Funktion, die du integriert hast
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe immer noch nicht verstanden, welcher Wert denn jetzt die Fläche unter der Stammfunktion ist.....
Der Wert den ich beim Integreiren der ersten Ableitung bekomme????
Oder den ich beim Integrieren der Stammfunktion bekomme????
PK Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du den Wert von Stammfunktion zur x- Achse haben willst, musst du die Stammfunktion integrieren, lies dir doch noch mal durch, was ich geschrieben hab
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben bis jetzt immer nur die erste Ableitung integriert....
was haben wir denn da für einen Wert rausbekommen?
PK Auf diesen Beitrag antworten »

du hast den Wert für die Fläche unter der ersten Ableitung
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

und wozu brauch ich den Wert für die Fläche unter der ersten Ableitung?
PK Auf diesen Beitrag antworten »

das kann man in der Praxis verwenden, ansonsten hast du eben die Fläche.... [ironie] ist doch toll, oder? [/ironie]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr solltet bei der Diskussion noch einmal ganz von vorne anfangen, die Fragen auseinanderhalten und in kleinen Schritten vorangehen. Die Fragen von Milkaschokolade kann man nämlich nicht ordentlich beantworten, weil alles total durcheinander geht. So, wie wenn jemand fragt:

"Also ich verstehe nicht, warum die Leute auf der Südhalbkugel nicht herunterfallen. Also das mit der Anziehungskraft habe ich verstanden. Also zwei Körper ziehen sich an. Wenn die sich nun aber anziehen, dann gilt doch das Newtonsche Massengesetz. Und mit der Erdbeschleunigung g, das habe ich auch verstanden. Wie hängt nun g mit dem Newtonschen Gesetz zusammen? Also wir auf der Nordhalbkugel fallen ja nicht herunter, weil wir oben sind. Wenn aber nun g=9,81 m/s² ist, verstehe ich nicht, wieso das s² heißt. Müßte das nicht s heißen? Was soll das hoch 2? Und warum gilt das Newtonsche Massengesetz nicht auch für die Leute auf der Südhalbkugel? Oder ist g dort -9,81 m/s², weil es ja nach unten geht? Kann mir das einmal einer erklären?"

Wer will denn darauf sinnvoll antworten?
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

@ leopold

ich glaube du hast recht, so wirklich habe ich nämlich noch nix verstanden.......
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stell doch nochmal ganz konkrete Fragen, und zwar immer bitte nur eine pro Post und nicht vier auf einmal, dann helfen wir dir nochmal Augenzwinkern

@PK
Antworte auch du bitte nicht so durcheinander, sondern lass sie lieber konkrete Fragen stellen auf die man auch konkret antworten kann ...
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich versuche es dann jetzt mal etwas genauer anzugehen:

Wie gesagt, wir sind gerade mit Integralrechnung angefangen. Mein Lehrer (der überhaupt nicht erklären kann) hat uns gesagt, dass die Integralrechnung "sich für die Fläche unter der Kurve interessiert". Wir haben dann mit verschiedenen Methoden die Fläche unter der Kurve berechnet. Unter anderem eben auch so, dass wir in die Funktion die hinter dem Integralzeichen (also die erste Ableitung der Stammfunktion??) unendlich viele Rechecke "eingerechnet haben". Hinterher haben wir dann immer einen bestimmten Wert rausgehabt zB 21,3333. Dieser Wert kam also beim Integrieren der ersten Ableitung raus...... Hier im Forum wurde mir gesagt, dass dies nun der Wert für die Fläche unter der Kurve der ersten Ableitung in dem vorher bestimmten Intervall ist. Wir haben aber dann in der Schule die Stammfunktion ausgerechnet und dann irgendwie x = b gesetzt und für b die Zahl bis wohin das Intervall von 0 aus geht eingesetzt und da hatten wir denselben Wert (zB eben auch 21,3333) raus, wie beim Integrieren der ersten Ableitung. Ich verstehe nun nicht, wieso man beim "Fläche-unter-der-Kurve-ausrechnen" die erste Ableitung integrierien muss und nicht die Stammfunktion, da dasselbe Ergebnis ja beim Einsetzen von b für x usw. s.o. in die Stammfunktion rauskommt.

Ich hoffe ihe versteht mein Problem!? Sonst sagt mir, was ihr nicht versteht, vll kan ich es dann noch ausführlicher beschreiben.
So langsam verzweifle ich an dieser Integralrechnung...... (Wozu ist die überhaupt gut?)
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

erst mal eine kleine einleitung, der mit wichtigste satz

Die Integralrechnung ist die Umkehrrechnung zur Differentialrechnung.

das heißt also, wenn du eine abgeleitete funktion bekommst, z.b.



willst du nun die stammfunktion, also die funktion, die abgeleitet wurde, bestimmen. diese bezeichnet man mit F(x). die wäre hier



das große C nennt man Integrationskonstante. diese muss man hinzufügen, da konstante summanden beim ableiten wegfallen. z.b.



hier siehst du, dass ja die 2 wegfällt. also muss man bei der suche nach der stammfunktion davon ausgehen, dass es dort ein zahl C gegeben hat.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Milkaschokolade
Also, ich versuche es dann jetzt mal etwas genauer anzugehen:

Wie gesagt, wir sind gerade mit Integralrechnung angefangen. Mein Lehrer (der überhaupt nicht erklären kann) hat uns gesagt, dass die Integralrechnung "sich für die Fläche unter der Kurve interessiert". Wir haben dann mit verschiedenen Methoden die Fläche unter der Kurve berechnet. Unter anderem eben auch so, dass wir in die Funktion die hinter dem Integralzeichen (also die erste Ableitung der Stammfunktion??) unendlich viele Rechecke "eingerechnet haben". Hinterher haben wir dann immer einen bestimmten Wert rausgehabt zB 21,3333. Dieser Wert kam also beim Integrieren der ersten Ableitung raus...... Hier im Forum wurde mir gesagt, dass dies nun der Wert für die Fläche unter der Kurve der ersten Ableitung in dem vorher bestimmten Intervall ist. Wir haben aber dann in der Schule die Stammfunktion ausgerechnet und dann irgendwie x = b gesetzt und für b die Zahl bis wohin das Intervall von 0 aus geht eingesetzt und da hatten wir denselben Wert (zB eben auch 21,3333) raus, wie beim Integrieren der ersten Ableitung. Ich verstehe nun nicht, wieso man beim "Fläche-unter-der-Kurve-ausrechnen" die erste Ableitung integrierien muss und nicht die Stammfunktion, da dasselbe Ergebnis ja beim Einsetzen von b für x usw. s.o. in die Stammfunktion rauskommt.

Ich hoffe ihe versteht mein Problem!? Sonst sagt mir, was ihr nicht versteht, vll kan ich es dann noch ausführlicher beschreiben.
So langsam verzweifle ich an dieser Integralrechnung...... (Wozu ist die überhaupt gut?)


Textfarbe durch den Zitierer geändert

Was in diesem Zitat in Normalschrift steht, macht mehr oder weniger Sinn. Was ich in grau gefärbt habe, ist ein Durcheinander, das dich vom richtigen Verständnis entfernt.
Der Witz ist eben, daß mit der Rechteckmethode dasselbe herauskommt wie mit der Stammfunktion-Methode. Dies ist der Dreh- und Angelpunkt der Infinitesimalrechnung und als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bekannt.

Um etwa die Fläche unter der Normalparabel, also dem Graphen von , über dem Intervall zu finden, kannst du viele Rechtecke unter dem Graphen zeichnen und alle Inhalte zusammenzählen, dann immer mehr und dünnere Rechtecke nehmen, um die wirkliche Fläche immer besser auszuschöpfen. Du kannst das aber auch mit einer Stammfunktion berechnen, was natürlich wesentlich einfacher ist.

Also:

soll integriert werden über dem Intervall .

Dazu suchen wir eine Stammfunktion von - und jetzt kommt's! -, also eine Funktion, deren Ableitung ergibt.



Und jetzt probierst du einfach einmal, eine Funktion zu finden, deren Ableitung ist.

Dann kannst du die gesuchte Fläche ganz leicht so berechnen:

Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, so langsam löst sich mein Wirrwar ein wenig auf.
Bei der oben angegebenen Aufgabe ist dann wohl
die Stammfunktion. Oder gibt es noch ne andere?
Wenn das die gesuchte Stammfunktion ist, dann kommt bei der Inhaltsberechnung 21 raus? stimmts?
Wie müsste ich aber hier jetzt die Rechteck-Methode anwenden?
n! Auf diesen Beitrag antworten »

das was du mit "Rechtecks" Methode meinst,müsste die Zerlegungssumme sein,oder?Das heißt ihr teilt das entsprechende Intervall auf und zeichnet dort Rechtecke ein,von denen ihr die Flächen berechnet und aufsummiert.Diese Rechtecksmethode ist die Einführung.Ihr werdet wohl bald den Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung beweisen.Und für das Stammfunktion Bilden gibt es eine simple Methode,ohne das du erstmal überlegen musst,wie die Ableitung der Stammfunktion aussieht.

21 stimmt übrigens

EDIT: Wenn du das mit den Rechtecken machen willst dann musst du a-b/n benutzen.a=1 und b=4.Das heißt du teilst 4-1/n = 3/n.
So und jetzt die Rechtecke.Das musst du dann alles so ausklammern,dass da Summen stehen,für die du eine bestimmte Summenformel brauchst.Ist aber alles VIEL zu aufwendig
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das nun mit der Rechteck-Methode machen würde, müsste ich doch die Integralsfunktion zerlegen, nicht die Stammfunktion? Aber wieso kommt beim Zerlegen der Integralsfunktion die Fläche unter der Stammfunktion raus?? Das verstehe ich nicht......

@ n! Welche Methode meinst du denn, die es einfacher macht die Stammfunktion zu finden???
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

So wie man eigentlich mit limes ableitet, es aber eine Formel gibt, mit der man das schneller machen kann, so gibts beim Integrieren Ober und - Untersummenberechnung und aber auch eine schnelle Formel, wie man integrieren kann.

lg kiki
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht wieder ins Chaos abgleiten.
Konkret:

Bei der Rechteckmethode "zerlegt" man natürlich die gegebene Funktion (für die die Fläche berechnet werden soll) und nicht die Stammfunktion, die ja zu diesem Zeitpunkt noch gar nicht bekannt ist!

Es kommt auch nicht die Fläche unter der Stammfunktion heraus, sondern die Fläche unter der gegebenen Funktion!

Von einer Stammfunktion kann man erst sprechen, wenn die gegebene Funktion integriert ist! Das ist allerdings das unbestimmte Integral und erst durch Einsetzen der Intervall-Grenzen ergibt sich daraus eine Fläche.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt im Wesentlichen aus, dass die 1. Ableitung der Stammfunktion F(x) (Integralfunktion) wiederum die ursprüngliche Funktion ist [genauer: Die Fläche A im Intervall [a;b] ist F(b) - F(a)].

Davon kommt auch das Wort "Integral", was lat. soviel heisst wie Wiederherstellen (der Stammfunktion).

F(x) .. Stammfunktion



Recht nett ist das übrigens auf

http://grinz.nls.at/AHS_neu/ahs/Homepage%207/

erklärt (ab 13. Schulübung)

Gr
mYthos
n! Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht nochmal als Tipp an Milkaschokolade: Schau doch mal in den Workshop Integralrechnung ganz oben hier in diesem Forum.Dort hat Jama unter anderem auch die Methode mit der Zerlegungssumme vorgerechnet.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Immer wieder ist mir bei Milkaschokolade dasselbe Mißverständnis aufgefallen. Ich will daher dieses Mißverständnis jetzt einmal beim Namen nennen, zuerst aber den Unsinn an einem anderen Beispiel klar machen.

Nehmen wir einen Mann, nennen wir ihn Paul, mit seiner Tochter, nennen wir sie Pauline. Dann kann ich sagen:

Pauline ist die Tochter von Paul.
Paul ist der Vater von Pauline.

Oder abstrakter:

1. Der Mann ist der Vater des Mädchens.
2. Das Mädchen ist die Tochter des Mannes.

Ich kann aber nicht sagen:
3. Der Mann ist der Vater der Tochter des Mädchens. NEIN!!! INZEST!

So - und jetzt ersetze man

Vater <-> Stammfunktion
Tochter <-> Ableitung
Mann <-> F(x)
Mädchen <-> f(x)

Dann kann man sagen:

1. F(x) ist eine Stammfunktion von f(x).
2. f(x) ist die Ableitung von F(x).

Man kann aber nicht sagen:
3. F(x) ist die Stammfunktion der Ableitung von f(x). NEIN!!! INZEST!

MATHEMATIK IST EINE ANSTÄNDIGE WISSENSCHAFT.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
MATHEMATIK IST EINE ANSTÄNDIGE WISSENSCHAFT.


hihi, da gibts ja sogar eine Pointe.

lg kiki
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Respekt! Applaus!
Diese Analogiebetrachtung, auch noch so schön farbig untersetzt, verdient den Didaktikpreis erster Klasse!!!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einem Unterrichtsbesuch vor einiger Zeit hat der mich begutachtende ältere Herr vom Oberschulamt gemeint: Das sei ja alles sehr schön gewesen. Aber eine kleine Kritik habe er. Ich möge doch bitte mit der farbigen Kreide nicht so sparsam umgehen.

Das habe ich mir dann zu Herzen genommen.
Milkaschokolade Auf diesen Beitrag antworten »

@ leopold

Danke für das Beispiel... Könntest du mir vll erst einmal sagen, was genau für ein Missverständnis dir bei mir aufgefallen ist?

@ alle

Ich glaube mittlerweile zu wissen, dass die Integranten-Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat. F(x) kann immer ein Konstante beeinhalten, welche beim Ableiten wegfällt?!?!! Also ist f(x) die erste Ableitung unendlich vieler F(x)??!?!!?!
Wie kriege ich aber nun die "richtige", also die gesuchte Stammfunktion heraus??
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Milkaschokolade
@ alle

Ich glaube mittlerweile zu wissen, dass die Integranten-Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat. F(x) kann immer ein Konstante beeinhalten, welche beim Ableiten wegfällt?!?!! Also ist f(x) die erste Ableitung unendlich vieler F(x)??!?!!?!
Wie kriege ich aber nun die "richtige", also die gesuchte Stammfunktion heraus??

genau. f(x) ist erste ableitung ist der unendlich vielen funktionen f(x). allgemein heißt das



um die "richtige" herauszufinden, brauchst du ein zusätzliche bedingung. das einfachste ist, wenn sie dir vorgegeben ist. z.b.



Gegeben ist die Funktion . Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von , für die gilt .

hier bestimmst du erst die stammfunktion



jetzt setzt du einfach die bedigung ein:



also ist die gesuchte stammfunktion:





ps: hab ich mir gerad ausgedacht Big Laugh
Jan Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du den wert eines integrals berechnen willst, dann kannst du einen beliebigen wert für C wählen. beispiel:
ist zu berechnen.

man erhält als stammfunktion:
mit beliebigem C.

jetzt anwendung des hauptsatzes:


das ergebnis ist also vollkommen unabhängig vom gewählten C!

praktisch schreibt man dann für C im allgemeinen gar nichts hin, d.h. man wählt C = 0. nur für solche aufgaben wie die eben genannte sollte man sich der tatsache bewusst sein, dass da was stehen könnte...
smile
grüße,
frohe weihnachten!

Jan
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