Grenzwert und ableitung

12.12.2004, 18:11	farinu	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert und ableitung hallo also ich hab hier zwei aufgaben die mich zum verzweifeln bringen 1) man berechne den grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} (x^{n}-1)(x-1)^{-1} (n= ganz, n\neq 0) \end{eqnarray}$ 2) ich soll die ableitung von $\begin{eqnarray} \frac{1}{sinx} \end{eqnarray}$ per definition berechnen zu 1) dacht ich mir das ich das man das ja auch als $\begin{eqnarray} \frac{x^{n}-1}{x-1} \end{eqnarray}$ schreiben kann und dann einfach L`hospital anwendet. ich weiß nur nich ob ich das darf zu 2) ich hab das mit $\begin{eqnarray} f^{'}(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray}$ versucht. aber am ende kommt bei mir $\begin{eqnarray} -\frac{1}{(sinx)^{2}} \end{eqnarray}$ raus. was ja nun mal falsch ist. wenn mir jemand den richtigen Ansatz verraten könnte wär ich euch echt dankbar schon mal danke im voraus
12.12.2004, 19:48	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1 würde ich sagen: ja, satz von de l'hospital... zu 2: schreib uns doch mal deinen rechenweg auf, dann können wir schauen, ob wir einen fehler finden.... denn genau das ist wahrscheinlich gemeint.... mfg jochen
12.12.2004, 20:21	farinu	Auf diesen Beitrag antworten »
also wie gesagt $\begin{eqnarray} f^{'}(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray}$ dann die funtion eingesetzt ergibt meiner meinung nach $\begin{eqnarray} \frac{1}{h}(\frac{1}{sinx+h}-\frac{1}{sinx}) \end{eqnarray}$ und das is doch wenn man h gegen 0 gehen läßt $\begin{eqnarray} -\frac{1}{(sinx)^{2}} \end{eqnarray}$ also meine vermutung ist,das ich mich schon im ansatz vertan hab
12.12.2004, 20:34	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du auf die -1/(sinus²(x))? also direkt am anfang kann man den grenzwert nicht bilden, der wäre direkt mal 1/0 *(1/sinx - 1/sinx) also 0/0... da musst wohl noch was umformen.... da habe ich aber auch keine ideen... mfg jochen
12.12.2004, 22:14	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Da auch die erste Aufgabe den Differentialquotienten an der Stelle x=1 für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^n \end{eqnarray}$ darstellt, wäre eine Berechnung mit l'Hospital ein Zirkelschluss. Es kommt aber alles darauf an, was ihr schon benutzen dürft. Dann geht das vielleicht. Wenn ihr das noch nicht benutzen dürft, dann ginge es am einfachsten wohl so: $\begin{eqnarray} \frac{x^n-1}{x-1}=\sum_{k=0}^{n-1}x^k \end{eqnarray}$ Diese Formel dürfte allseits bekannt sein. Für den Sinus: Mit der Formel $\begin{eqnarray} \sin(a)-\sin(b)=2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cdot \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \end{eqnarray}$ bekommt man: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{\sin(x+h)}-\frac{1}{\sin(x)}}{h}=\frac{\sin(x)-\sin(x+h)}{\sin(x+h)\cdot \sin(x)\cdot h}=\frac{2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\cdot \sin\left(-\frac{h}{2}\right)}{\sin(x+h)\cdot \sin(x)\cdot h}=-\frac{\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)}{\sin(x+h)\cdot \sin(x)}\cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \end{eqnarray}$
12.12.2004, 22:21	farinu	Auf diesen Beitrag antworten »
@mathespezialschüler ich werd dein tip bei der ersten gleich ausprobieren. und danke auch besonders für die lösung der zweiten aufgabe
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12.12.2004, 22:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, n bißchen was is ja bei der zweiten noch zu machen (Grenzübergang). Und die benutzte Formel müsste auch schon bewiesen sein. Außerdem müsst ihr auch bewiesen haben, dass sin und cos stetig sind und dass $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1 \end{eqnarray}$ gilt. Die Summenformel in Aufgabe 1 müsste allerdings so schon bekannt und bewiesen sein, denn sie ist ja nichts anderes als die geometrische Summenformel ...

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