[WS] Orthogonale Polynome

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25.04.2007, 09:45

tigerbine

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[WS] Orthogonale Polynome

Gliederung

Tschebyscheff-Polynome
1a. Definition
1b. Rekursion
1c. Polynomeigenschaft
1d. Nullstellen
1e. Linearfaktorzerlegung
1f. Extremstellen
1g. Bezug zum Knotenpolynom der Polynominterpolation
1h. Orthogonalität
1i. Symmetrieverhalten
1j. Einige Plots und m-files
Legendre Polynome
2a. Defninition
2b. Polynomeigenschaft
2c. Nullstellen
2d. Orthogonalität
2e. Symmetrie
2f. Rekursion
2g. Gemeinsame Punkte
2h. Einige Plots
Jacobi-Polynome Polynome
3. allgemeine Darstellung
Schema von Golub & Welsch (oder Berechnung von Nullstellen)
4a. Schema für die Legendre-Polynome
4b. Schema für die Tschebyscheff-Polynome
4c. Schema für die Laguerre-Polynome
4d. Schema für die Hermite-Polynome

25.04.2007, 09:46

tigerbine

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Tschebyscheff-Polynome
Darunter versteht man die durch $\begin{eqnarray*} T_n(x):=\cos(~n\cdot \arccos(x)~) \end{eqnarray*}$ definierten Polynome. Sie treten z.B. beim Lösen der Tschebyscheff-Differentialgleichungen, der optimalen Knotenwahl bei der Lagrange-Interpolation oder bei der Gauß-Quadratur (Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray*} \gamma(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$ ) auf.

25.04.2007, 09:47

tigerbine

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1a. Definition
$\begin{eqnarray*} T_n(x):=\cos(~n\cdot \arccos(x)~) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{T_n}=[-1,1], \quad W_{T_n}=[-1,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_0(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_1(x)=x \end{eqnarray*}$

etc.

25.04.2007, 09:47

tigerbine

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1b. Rekursion
Mittels des Additionstheorems $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)=2 \cos(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha-\beta) \end{eqnarray*}$ ergibt sich die Rekursionsformel:

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) &&= \cos \bigl( (n+1) \cdot \arccos(x) \bigr) = 2\cos(n\cdot \arccos(x))\cos(1\cdot \arccos(x))-\cos((n-1) \cdot \arccos(x)) \\&&= 2x\cdot T_n(x) - T_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 09:48

tigerbine

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1c. Polynomeigenschaft
Aus der Drei-Term-Rekursion (1b) folgt (durch Induktion) wegen $\begin{eqnarray*} T_0(x) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_1(x)=x \end{eqnarray*}$ dass gilt:

$\begin{eqnarray*} T_n \in \Pi_{n_{[-1,1]}} \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 09:48

tigerbine

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1d. Nullstellen
Allgemein gilt $\begin{eqnarray*} \cos(y) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle ungeraden Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Also

$\begin{eqnarray*} \cos \Bigl(\frac{2j+1}{2}\cdot \pi\Bigr)=0,~\forall j \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich für $\begin{eqnarray*} y_j=n\cdot \arccos(x_j) \end{eqnarray*}$ die Forderung:

$\begin{eqnarray*} n\cdot \arccos(x_j) = \frac{2j+1}{2}\cdot \pi \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arccos(x_j) = \frac{2j+1}{2n}\cdot \pi \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_j = \cos \Bigl(\frac{2j+1}{2n}\cdot \pi \Bigr) \end{eqnarray*}$

Probe der so bestimmen Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} T_x(x_j) = \cos \Big( n \cdot \arccos(\cos \Bigl(\frac{2j+1}{2n}\cdot \pi \Bigr)) \Bigr) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \cos \Bigl( n \cdot \frac{2j+1}{2n}\cdot \pi \Bigr) = \cos \Bigl( (2j+1) \cdot \frac{\pi}{2} \Bigr) = 0 \end{eqnarray*}$

In welchem Intervall liegen die $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ :

Da der Cosinus nur Werte aus dem Intervall [-1, 1] annimmt, liegen die Nullstellen der Tschebyscheff-Polynome folglich auch in diesem Intervall.
(Beliebte Prüfungsfrage)

Sortierung der Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} \text{Für }i < j \text{ gilt offensichtlich: } \frac{2i+1}{2n}\cdot \pi <\frac{2ji+1}{2n}\cdot \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Des weiteren ist: } \quad \qquad \qquad \frac{2\cdot 0+1}{2n}\cdot \pi = \frac{1}{2n}\cdot \pi >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{und: } \qquad \qquad \qquad \frac{2\cdot (n-1)+1}{2n}\cdot \pi = \frac{2n-1}{2n}\cdot \pi < \pi \end{eqnarray*}$

Da der Cosinus in $\begin{eqnarray*} [0, \pi] \rightarrow [-1;1] \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist, folgt für $\begin{eqnarray*} i < j \Rightarrow x_i > x_j \end{eqnarray*}$ .

Will man die Nullstellen des Tschebyscheff Polynoms in der Sortierung $\begin{eqnarray*} x_0 < x_1 < ... < x_{n-1} \end{eqnarray*}$ berechnen, so schreibt man:

$\begin{eqnarray*} x_j=\cos \Bigl( \frac{2(n-j-1)+1}{2n}\cdot \pi\Bigr) \end{eqnarray*}$

Bitte beachten, dass es sich hier um die n-Nullstellen von $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ handelt. Bei der Polynominterpolation benötigt man die (n+1)-Nullstellen von $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 09:49

tigerbine

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1e. Linearfaktorzerlegung
Da $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ n reelle Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_j,~j = 0,...,n-1 \end{eqnarray*}$ besitzt, zerfällt das Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren und man kann schreiben:

$\begin{eqnarray*} T_n(x) = c\cdot \prod_{j=0}^{n-1}(x-x_j) \end{eqnarray*}$

Mit der Drei-Term-Rekursion (1b) ergibt sich dann, dass der Leitkoeffizient c von $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist. Somit gilt also:

$\begin{eqnarray*} T_n(x) =2^{n-1}\cdot \prod_{j=0}^{n-1}(x-x_j) \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 09:51

tigerbine

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1f. Extremstellen
Aus der Definition von $\begin{eqnarray*} T_n(x)=\cos \bigl( n \cdot \arccos(x) \bigr) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |T_n(x)|\leq 1 \quad~\forall x \in [-1,1] \end{eqnarray*}$

D.h. der Funktionswert an einer Extremstelle ist +/- 1.

________________________________________________________
Allgemein gilt $\begin{eqnarray*} \cos(y) = 1 \end{eqnarray*}$ für alle geraden Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \cos(y)=-1 \end{eqnarray*}$ für alle ungeraden Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \cos(k\cdot\pi) = (-1)^k \end{eqnarray*}$
________________________________________________________

Damit ergibt sich für die gesuchten Extremstellen $\begin{eqnarray*} m_k, ~y_k = \arccos(m_k) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} k\cdot \pi = n\cdot \arccos(m_k) \Leftrightarrow \frac{k}{\pi \cdot n} = \arccos(m_k) \Leftrightarrow m_k = \cos \Bigl( \frac{k \cdot \pi}{n}\Bigr) \end{eqnarray*}$

Probe:

$\begin{eqnarray*} T_n(m_k) = \cos \Bigl( n \cdot \arccos \bigl( \cos \Bigl( \frac{k\cdot \pi}{n} \Bigr) \bigr) \Bigr) = \cos (n \cdot \frac{k\cdot \pi}{n}) = \cos(k\cdot \pi) = (-1)^k \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 09:52

tigerbine

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1g. Bezug zum Knotenpolynom der Polynominterpolation
Neben den Extremwerten aus 1e hat $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ keine weiteren Extremwerte. Verwendet man zur Interpolation die Tschebyscheff-Knoten $\begin{eqnarray*} x_0,...,x_n \end{eqnarray*}$ , also die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ , so gilt für das Knotenpolynom $\begin{eqnarray*} \omega(x) = \prod_{j=0}^{n}(x-x_j) \text{ auf } [-1;1] \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |T_{n+1}(x)| \stackrel{\mathrm{1e}}= |2^n \cdot \prod_{j=0}^{n}(x-x_j) |\leq 1 \quad \Leftrightarrow \quad |\prod_{j=0}^{n}(x-x_j)| \leq 2^{-n} \end{eqnarray*}$

Warum minimiert nun diese Wahl den maximales Ausschlag des Knotenpolynoms w?

Siehe Workshop Polynominterpolation

25.04.2007, 09:53

tigerbine

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1h. Orthogonalität
Betrachten wir das Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:= \int_{-1}^1 \gamma(x)f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Dann gilt mit der in der Einleitung erwähnten Gewichtsfunktion für die Tschebyscheff-Polynome:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot T_m(x)\cdot T_n(x)~dx = \begin{cases} 0 &\text{für } m \neq n \\ \frac{\pi}{2} & \text{für } m=n \neq 0 \\ \pi & \text{für } m=n=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Beweis:

Es werden folgende Bezeichnungen eingeführt:

$\begin{eqnarray*} x = \cos(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \arccos(x) \end{eqnarray*}$

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \cos(m \cdot z) \cdot \cos(n \cdot z) = \frac{1}{2} \cdot [\cos \Bigl((m-n) \cdot z \Big) + \cos \Bigl( (m+n)\cdot z \Bigr)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin^2(z) + \cos^2(z) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sin(z) = \sqrt{1-\cos^2(z)} = \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1~dx = x ~\text{ und } - \sin(z)~dz = \cos(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dx = - \sin(z) ~dz \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot T_m(x) \cdot T_n(x)~dx && = \int_{-1}^{1}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \cos \Bigl(m \cdot \arccos(x)\Bigr) \cdot \cos \Bigl(n \cdot \arccos(x)\Bigr)~dx = \\&&= \int_{-1}^{1}~\frac{1}{\sin(z)}\cdot \cos(m\cdot z) \cdot cos(n \cdot z) ~dx = \\ && = \int_{\pi}^{0}~\frac{1}{\sin(z)}\cdot \cos(m\cdot z) \cdot cos(n \cdot z) \cdot (-1) \cdot \sin(z)~dz = \\&&=\int_{0}^{\pi}~\cos(m\cdot z) \cdot \cos(n\cdot z)~dz= \\&&=\frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi}~[\cos \Bigl((m-n) \cdot z \Big) + \cos \Bigl( (m+n)\cdot z \Bigr)]~dz \end{eqnarray*}$

Damit kann man nun die Behauptungen nachweisen:

$\begin{eqnarray*} m \neq n: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot T_m\cdot T_n~dx &&= \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi}~[\cos \Bigl((m-n) \cdot z \Big) + \cos \Bigl( (m+n)\cdot z \Bigr)]~dz = \\&&= \frac{1}{2} \cdot [\frac{1}{m-n}\cdot \sin\Bigl((m-n)\cdot z\Bigr) + \frac{1}{m+n} \cdot \sin\Bigl( (m+n)\cdot z \Bigr)]_0^{\pi} = \\ && = \frac{1}{2} \cdot [\frac{1}{m-n} \cdot \sin\Bigl((m-n)\cdot \pi \Bigr) +\frac{1}{m+n} \cdot \sin\Bigl( (m+n)\cdot \pi \Bigr)]-\frac{1}{2} \cdot [0+0] = \\&&=\frac{1}{2} \cdot [0 + 0] = \\&&= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=n\neq 0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot T_m\cdot T_n~dx &&=\frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi}~[\cos(0\cdot z) + \cos(2n\cdot z)]~dz = \\&&=\frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi}~[1 + \cos(2n\cdot z)]~dz=\\&&=\frac{1}{2}\cdot [z+\frac{1}{2n} \cdot \sin(2n\cdot z)]_0^{\pi} = \\&& = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=n=0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot T_0\cdot T_0~dx &&=\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\pi}~[\cos(0) + \cos(0)]~dz = \\&&= \frac{1}{2} \cdot [2z]_0^{\pi} = \\&& = \pi \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 09:55

tigerbine

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1i. Symmetrieverhalten
Es ist

$\begin{eqnarray*} T_{2n+1}(-x)&& =\cos \Bigl( (2n+1) \cdot \arccos(-x)~\Bigr) =\\&& = \cos \Bigl( (2n+1) \cdot (\pi -\arccos(x))~\Bigr)=\\&&=\cos \Bigl( (2n+1) \cdot \pi -(2n+1)\cdot \arccos(x)~\Bigr)= \\&&=\cos \Bigl((2n+1) \cdot \pi \Bigr)\cdot \cos \Bigl( (2n+1)\cdot \arccos(x)\Bigr) - \sin \Bigl((2n+1) \cdot \pi \Bigr)\cdot \sin \Bigl((2n+1)\cdot \arccos(x) \Bigr)=\\&& =(-1)\cdot \cos \Bigl( (2n+1)\cdot \arccos(x)\Bigr) - 0\cdot \sin \Bigl( (2n+1)\cdot \arccos(x)\Bigr) \\&& =- \cos \Bigl( (2n+1) \cdot \arccos(x)~\Bigr)=\\&&=-T_{2n+1}(x) \end{eqnarray*}$

Die ungeraden Tschebyscheff-Polynome sind punktsymmetrisch zum Ursprung und es kommen nur ungerade Potenzen von x vor.

$\begin{eqnarray*} T_{2n}(x)&& = \cos \Bigl( (2n) \cdot \arccos(-x)~\Bigr) =\\&& = \cos \Bigl( (2n) \cdot (\pi -\arccos(x))~\Bigr)=\\&&=\cos \Bigl( (2n) \cdot \pi -(2n)\cdot \arccos(x)~\Bigr)= \\&&=\cos \Bigl((2n) \cdot \pi \Bigr)\cdot \cos \Bigl( (2n)\cdot \arccos(x)\Bigr) - \sin \Bigl((2n) \cdot \pi \Bigr)\cdot \sin \Bigl((2n)\cdot \arccos(x) \Bigr)=\\&& =(+1)\cdot \cos \Bigl( (2n)\cdot \arccos(x)\Bigr) - 0\cdot \sin \Bigl( (2n)\cdot \arccos(x)\Bigr) \\&& = \cos \Bigl( (2n) \cdot \arccos(x)~\Bigr)=\\&&=T_{2n}(x) \end{eqnarray*}$

Die geraden Tschebyscheff-Polynome sind achsensymmetrisch zur y-Achse und es kommen nur gerade Potenzen von x vor.

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In der Sammlung nun ein paar kleine m-files zur Umrechnung von Monom in Tschebyscheff-Darstellung und Auswertung mittels Clenshaw Algorithmus.

http://www.smileygarden.de/smilie/Computer/68.gif

25.04.2007, 09:56

tigerbine

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1j. Einige Plots
Lehrer

Vergleiche hierzu die Rekursionsformel in 1b. Dabei gilt es zu beachten, dass nur der Teil der Funktion im Intervall [-1,1] das entsprechende Tschebyscheff Polynom darstellt (Definitionsmenge)

$\begin{eqnarray*} T_0(x) = 1,~\quad T_1(x) = x, \quad T_2(x) = \cos(2 \cdot \arccos (x)) = 2x^2-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_3(x) = \cos(3\cdot \arccos(x)) = 4x^3-3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_4(x) = \cos(4\cdot \arccos(x)) = 8x^4-8x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_5(x) =\cos(5\cdot \arccos(x)) = 16x^5-20x^3+5x \end{eqnarray*}$

....

$\begin{eqnarray*} T_{10}(x) = \cos(10\cdot \arccos(x)) \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} T_{20}(x) = \cos(20\cdot \arccos(x)) \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 10:48

tigerbine

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Legendre-Polynome
Darunter versteht man die durch $\begin{eqnarray*} P_n(x):=\frac{1}{2^n~n!}\cdot \frac{d^n}{dx^n}~\Bigl( (x^2-1)^n \Bigr) \end{eqnarray*}$ definierten Polynome (Dabei seht $\begin{eqnarray*} \frac{d^n}{dx^n} \end{eqnarray*}$ für die n-te Ableitung). sie treten z.B. beim Lösen der Legendre-Differentialgleichungen oder bei der Gauß-Quadratur (Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray*} \gamma(x) = 1 \end{eqnarray*}$ ) auf.

25.04.2007, 10:49

tigerbine

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2a. Definition
$\begin{eqnarray*} P_n(x):=\frac{1}{2^n~n!}\cdot \frac{d^n}{dx^n}~\Bigl( (x^2-1)^n \Bigr) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{P_n} = \mathbb R,\qquad W_{P_n}=\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_0(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1(x) = x \end{eqnarray*}$

etc.

25.04.2007, 10:50

tigerbine

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2b. Polyomeigenschaft
Als n-te Ableitung eines Polynoms vom Grad (2n) ist $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad n. Dabei hat P_n den Leitkoeffizienten

$\begin{eqnarray*} h_n=\frac{(2n)!}{n!}\cdot \frac{1}{2^n~n!} = \frac{(2n)!}{2^n~(n!)^2} \end{eqnarray*}$

Beweis:

Ergibt sich direkt aus den Ableitungsregeln für Polynome.

25.04.2007, 10:50

tigerbine

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2c. Nullstellen
Hilfssatz

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei beliebig oft differenzierbar und habe in (a,b) mindestens p Nullstellen. Mit einer natürlichen Zahl n setzte man:

$\begin{eqnarray*} F(x):=(x-a)^n(x-b)^n\cdot f(x) \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} F^{(k)}(x), ~k = 0,1,...,n \end{eqnarray*}$ hat die Gestalt $\begin{eqnarray*} F^{(k)}(x)=(x-a)^{n-k}(x-b)^{n-k} \cdot \varphi_k \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ in [a,b] beliebig oft differenzierbar ist und in (a,b) mindestens (p+k) Nullstellen hat.

Beweis:

$\begin{eqnarray*} \text{IA: k= 0} \end{eqnarray*}$

Hier ist die Behauptung gerade die Voraussetzung.

$\begin{eqnarray*} \text{IB: Sei die Behauptung richtig für } k < n \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ in [a,b] beliebig oft differenzierbar ist und hat in (a,b) mindestens (p+k) Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} \text{IS: k } \to \text{ k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F^{(k)}(x) =(x-a)^{n-k}(x-b)^{n-k} \cdot \varphi_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F^{(k+1)}(x) && = [(x-a)^{n-k}(x-b)^{n-k}]'\cdot \varphi_{k} + [(x-a)^{n-k}(x-b)^{n-k}]\cdot \varphi_{k}'= \\&&= [(n-k)\cdot (x-a)^{n-k-1}\cdot (x-b)^{n-k} + (n-k)\cdot (x-a)^{n-k}(x-b)^{n-k-1}]\cdot \varphi_k + [(x-a)^{n-k}(x-b)^{n-k}]\cdot \varphi_{k}'= \\&&=[(n-k)(x-a)^{n-k-1}(x-b)^{n-k-1}]\cdot[(x-b) + (x-a)] \cdot \varphi_k + [(x-a)^{n-k-1}(x-b)^{n-k-1}]\cdot[(x-a)(x-b)] \cdot \varphi_{k}'=\\&&=(x-a)^{n-k-1}(x-b)^{n-k-1}\cdot [(n-k)\cdot(2x-a-b)\cdot \varphi_k + (x-a)(x-b)\cdot \varphi_k'] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow F^{(k+1)}(x) =(x-a)^{(n-k-1)}(x-b)^{(n-k-1)} \cdot \varphi_{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{mit } \varphi_{k+1}:=[(n-k)\cdot(2x-a-b)\cdot \varphi_k + (x-a)(x-b)\cdot \varphi_k'] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ hat nach Induktionsbehauptung mindestens (p+k) Nullstellen in (a,b). Diese seinen wie folgt bezeichnet:

$\begin{eqnarray*} \xi_1,...,\xi_{p+k} \in (a,b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F^{(k)} \end{eqnarray*}$ hat dann die Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} a,\xi_1,...,\xi_{p+k},b \end{eqnarray*}$

Nach dem Satz von Rolle hat dann $\begin{eqnarray*} F^{(k+1)} \end{eqnarray*}$ in jedem der (p+k+1)- Intervalle

$\begin{eqnarray*} (a,\xi_1),....,(\xi_{p+k},b) \end{eqnarray*}$

eine Nullstelle. Folglich hat dann $\begin{eqnarray*} \varphi_{k+1} \end{eqnarray*}$ (p+k+1) Nullstellen im Intervall (a,b).

*******************************************************

Betrachtet man nun die Funktion

$\begin{eqnarray*} F_n(x):=(x^2-1)^n=(x-1)^n(x+1)^n\cdot 1 \end{eqnarray*}$

So ist in Bezug zum obigen Hilfssatz

$\begin{eqnarray*} a=-1, b=1 \text{ und } f(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p = 0 \end{eqnarray*}$

Für die k-te Ableitung der Funktion gilt dann:

$\begin{eqnarray*} F_n^{(k)}(x)=(x-1)^{n-k}(x+1)^{n-k}\cdot \varphi_k \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ in (-1,1) dann mindestens (p+k) = (0+k) Nullstellen hat. Damit ergibt sich, dass

$\begin{eqnarray*} F_n^{(n)} = (x-1)^{n-n}(x+1)^{n-n}\cdot \varphi_n = \varphi_n \end{eqnarray*}$

mindestens n Nullstellen in (-1,1) hat. Da aber $\begin{eqnarray*} F_n^{(n)} \end{eqnarray*}$ ein Polxnom vom Grad n (ungleich dem Nullpolynom) ist, hat es genau n Nullstellen in (-1,1).

**********************************************************

Da sich die Legendre Polynome $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ nur durch den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n~n!} \end{eqnarray*}$ von den Polynomen $\begin{eqnarray*} F_n^{(n)} \end{eqnarray*}$ unterscheiden - auch sie sind Polynome vom Grad n - haben auch sie genau n Nullstellen im Intervall (-1,1).

25.04.2007, 10:51

tigerbine

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2d. Orthogonalität
Betrachten wir das Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:= \int_{-1}^1 \gamma(x)f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

So lautet mit der hier verwendeten Gewichtsfunktion ( $\begin{eqnarray*} \gamma(x)=1 \end{eqnarray*}$ ) das Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:= \int_{-1}^1 f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Zum Nachweis von

$\begin{eqnarray*} <P_m,~P_n>=0 \quad \forall ~m \neq n \text{ mit o.B.d.A }m < n \end{eqnarray*}$

genügt es zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} <x^p,~P_n>=0 \quad \forall~x^p \text { mit } p < n \end{eqnarray*}$ .

Dieses wiederum ist in der Behauptung

$\begin{eqnarray*} <x^p,~F^{(k)}_n>=0 \quad \forall~x^p \text { mit } p < k \quad \forall ~k=1,...,n \end{eqnarray*}$

enthalten. Dabei ist wie im vorherigen Absatz

$\begin{eqnarray*} F_n(x):=(x^2-1)^n \end{eqnarray*}$

Beweis: Induktion nach k

$\begin{eqnarray*} \text{IA: } k=1 \Rightarrow p = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <1,F^{(1)}_n> = \int_{-1}^{1}~[(x^2-1)^n]'~dx = [(x^2-1)^n]_{-1}^{1} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{IB: Sei die Behauptung richtig für k-1} \end{eqnarray*}$

D.h. es gilt $\begin{eqnarray*} <x^p,~F^{(k-1)}_n>=0 \quad \forall~x^p \text{ mit } p < k-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{IS: } k-1 \to k,~p < k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <x^p, F_n^{(k)}> = \int_{-1}^{1}~x^p\cdot F_n^{(k)}(x)~dx && \stackrel{\mathrm{part. Int.}}= [x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}~p\cdot x^{p-1}\cdot F_n^{(k-1)}(x)~dx = \\ && =[x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1} - p\cdot <x^{p-1},F_n^{(k-1)}> =\\&&\stackrel{\mathrm{IB}}= [x^p\cdot F_n^{(k-1)}(x)]_{-1}^{1} =\\&&\stackrel{\mathrm{Bem}}=0 \end{eqnarray*}$

Bemerkung:

Es ist $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad (2n), dass in x=-1 und x=1 jeweils eine n-fache Nullstelle besitzt. Somit gilt auch für die (k-1)-te Ableitung (wegen k-1 < n ):

$\begin{eqnarray*} F_n^{(k-1)}(-1)=0,~F_n^{(k-1)}(1)=0 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Orthogonalität der Legendre-Polynome nachgewiesen. In Analogie zu den Tschebyscheff-Polynomen soll noch der Fall m=n angegeben werden.

$\begin{eqnarray*} <P_n,P_n> = \int_{-1}^{1}~\Bigl( \frac{1}{2^n~n!}\Bigr) \cdot F_n^{(n)}(x)\cdot F_n^{(n)}(x)~dx = \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 10:53

tigerbine

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2e. Symmetrie
Nach dem Binomischen Satz ist:

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)^n = \sum_{j=0}^n{n\choose j}(x^2)^{(n-j)}\cdot(-1)^j = \sum_{j=0}^n{n\choose j}x^{2(n-j)}\cdot(-1)^j \end{eqnarray*}$

Also ein gerades Polynom. Daher folgt mit den Ableitungsregeln für Polynome:

$\begin{eqnarray*} \text{n gerade } &&\Rightarrow T_n \text{ gerade Funktion}\\ \text{n ungerade } &&\Rightarrow T_n \text{ ungerade Funktion} \end{eqnarray*}$

Daher gilt also:

$\begin{eqnarray*} T_{n}(-x) = (-1)^n\cdot T_{n}(x) \end{eqnarray*}$

Als direkte Folgerung ergibt sich dann für den ungeraden Fall n=2k+1:

$\begin{eqnarray*} T_{2k+1}(0) = 0 \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 10:53

tigerbine

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2f. Rekursion
Es ist $\begin{eqnarray*} P_n \in \Pi_n \end{eqnarray*}$ und aufgrund ihrer gezeigten Orthogonalität sind die Polynome $\begin{eqnarray*} P_0,P_1,...,P_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig und bilden eine Basis der $\begin{eqnarray*} \Pi_n \end{eqnarray*}$ . Deswegen kann man für $\begin{eqnarray*} x \cdot P_n \in \Pi_{n+1} \end{eqnarray*}$ schreiben:

$\begin{eqnarray*} (*)\quad x\cdot P_n(x)=c_{n+1} \cdot P_{n+1} + a_n\cdot P_n(x) + b_{n-1}\cdot P_{n-1}(x) + Q(x) ~ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{mit } Q \in \Pi_{n-2},\quad a_n,b_{n-1},c_{n+1} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

********************************************************
Aus den Eigenschaften des hier verwendeten Skalarproduktes folgt:

$\begin{eqnarray*} <x\cdot P_n,Q>~ = \int_{-1}^1~x\cdot P_n(x)\cdot Q(x)~dx ~= \int_{-1}^1~ P_n(x)\cdot x\cdot Q(x)~dx =~ <P_n,x\cdot Q> \end{eqnarray*}$

Mit dem Beweis zur Orthogonalität und den Rechenregeln des Skalarprodukts folgt dann:

$\begin{eqnarray*} <P_n,x\cdot Q>~ &&=~ <P_n,x\cdot \sum_{j=0}^{n-2}~(\alpha_j\cdot x^j)>~ =\\&&=~<P_n, \sum_{j=0}^{n-2}~(\alpha_j\cdot x^{j+1})>~ =\\&&=~\sum_{j=0}^{n-1}~<P_n,x^{j+1}>~= \\&&=0 \end{eqnarray*}$

Damit gilt auch: $\begin{eqnarray*} <x\cdot P_n,Q> ~= 0 \end{eqnarray*}$

Andererseits ist mit (*):

$\begin{eqnarray*} <x\cdot P_n,Q> ~&&=c_{n+1}~\cdot <P_{n+1},Q> +~ a_n~\cdot <P_n,Q> +~ b_{n-1} \cdot <P_{n-1},Q> + ~<Q,Q>~=\\&&= 0 + 0+ 0 +~<Q,Q> \end{eqnarray*}$

Damit folgt wegen $\begin{eqnarray*} <Q,Q> = 0 \quad \Rightarrow Q(x) =0 \end{eqnarray*}$

*********************************************************

Aufgrund des Symmetrieverhaltens ergibt sich aus (*) mit Q(x)=0:

$\begin{eqnarray*} (-x)\cdot P_n(-x)&&= c_{n+1}\cdot P_{n+1}(-x) + a_n\cdot P_n(-x) + b_{n-1} \cdot P_{n-1}(-x) \\ (-x)\cdot (-1)^n\cdot P_n(x)&& \stackrel{\mathrm{Sym.}}= c_{n+1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot P_{n+1}(x) + a_n\cdot (-1)^n\cdot P_n(x) + b_{n-1}\cdot P_{n-1}(x) \\ x\cdot P_n(x) \cdot (-1)^{n+1}&&= c_{n+1}\cdot (-1)^{n+1}\cdot P_{n+1}(x) + a_n\cdot (-1)^n\cdot P_n(x) + b_{n-1}\cdot P_{n-1}(x) \\ x \cdot P_n(x) && = c_{n+1} \cdot P_{n+1}(x) - a_n\cdot P_n(x) + b_{n-1} \cdot P_{n-1}(x) \\ \\\text{Es ist aber auch nach (*):}\\ \\x \cdot P_n(x) && = c_{n+1} \cdot P_{n+1}(x) + a_n\cdot P_n(x) + b_{n-1} \cdot P_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_n=0 \end{eqnarray*}$

**********************************************************

Somit erhält man die Rekurisonsformel:

$\begin{eqnarray*} (**)\quad x\cdot P_n(x)=c_{n+1} \cdot P_{n+1} + b_{n-1}\cdot P_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

Vergleicht man die Höchstkoeffizienten-Darstellung beider Seiten, so erhält man:

$\begin{eqnarray*} h_n = c_{n+1} \cdot h_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{n+1} &&= \frac{h_n}{h_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{2^n~(n!)^2}}{\frac{[2(n+1)]!}{2^{n+1}~{[(n+1)!]^2}}} = \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{2^{n+1}~[(n+1)!]^2}{2^n~(n!)^2} = \\&&=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\cdot \frac{2(n+1)^2}{1}= \\&&=\frac{n+1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

***********************************************************

Damit erhält man die Rekurionsformel

$\begin{eqnarray*} (***)\quad x\cdot P_n(x)=\frac{n+1}{2n+1} \cdot P_{n+1} + b_{n-1}\cdot P_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

Durch Bilden des Sklalarprodukts mit $\begin{eqnarray*} P_{n-1} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} <x\cdot P_n,P_{n-1}> ~=~\frac{n+1}{2n+1} \cdot <P_{n+1},P_{n-1}> ~+~ b_{n-1}\cdot <P_{n-1},P_{n-1}> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n-1} &&= \frac{<x\cdot P_n,P_{n-1}>~-~\frac{n+1}{2n+1} \cdot <P_{n+1},P_{n-1}>}{<P_{n-1},P_{n-1}>}=\\&& \stackrel{\mathrm{orth.}}=\frac{<x\cdot P_n,P_{n-1}>}{\frac{2}{2(n-1)+1}}= \frac{< P_n,x\cdot P_{n-1}>}{\frac{2}{2(n-1)+1}}=\\ && \stackrel{\mathrm{(***)}}=\frac{<P_n,~\frac{n}{2(n-1)+1}\cdot P_n + b_{n-2} \cdot P_{n-2}>}{\frac{2}{2(n-1)+1}}=\\&&= \frac{\frac{n}{2n-1}\cdot ~<P_n,P_{n}>+b_{n-2}\cdot <P_n,P_{n-2}>}{\frac{2}{2n-1}}= \\&&\stackrel{\mathrm{orth.}}= \frac{\frac{n}{2n-1}\cdot \frac{2}{2n+1}}{\frac{2}{2n-1}} = \\&& =\frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

**********************************************************

Somit lautet also abschließend die Rekursionsformel zur Berechnung der Legendre-Polynome durch Drei-Term-Rekusion:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n+1}\cdot P_{n+1}(x) = x\cdot P_n - \frac{n}{2n+1}\cdot P_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 10:54

tigerbine

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2g. Gemeinsame Punkte
Aus der DTR-Formel ergibt sich dann noch, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} P_n(1)=1 \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n+1}\cdot P_{n+1}(x) = x\cdot P_n - \frac{n}{2n+1}\cdot P_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

Aus der Definition kann man sich ja nun noch die ersten beiden bestimmen und erhält:

$\begin{eqnarray*} P_0(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1(x)=x \end{eqnarray*}$

Überprüfung zeigt, dass für beide gilt:

$\begin{eqnarray*} P_0(1) = P_1(1) =1 \end{eqnarray*}$

Mit der DTK-Formel folgt dann:

$\begin{eqnarray*} P_2(x) &&=\frac{3}{2} \cdot [(x-0)\cdot x - \frac{1}{3}\cdot 1]= \\&& = \frac{1}{2}\cdot (3x^2-1) \end{eqnarray*}$

Und auch hier ist:

$\begin{eqnarray*} P_2(1) = 1 \end{eqnarray*}$

Allgemein folgt aus der Annahme, dass die Behauptung richtig ist für (k-1) und (k):

$\begin{eqnarray*} P_{k+1}(1) && = \frac{2k+1}{k+1}\cdot 1\cdot P_k(1)-\frac{2k+1}{k+1}\cdot \frac{k}{2k+1} \cdot P_{k-1}(1) = \\&&=\frac{2k+1}{k+1}\cdot P_k(1) - \frac{k}{k+1}\cdot P_{k-1}(1) = \\ && = \frac{2k+1-k}{k+1} = \frac{k+1}{k+1} =\\&&=1 \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 10:55

tigerbine

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2h. Einige Plots
Drei-Term-Rekursion

$\begin{eqnarray*} P_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{n+1}\cdot x\cdot P_n(x) - \frac{n}{n+1}\cdot P_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_0(x) = 1,~\quad P_1(x) = x, \quad P_2(x) =\frac{3}{2} \cdot x^2 -\frac{1}{2} \cdot 1 =\frac{1}{2} \cdot (3x^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_3(x)&&= \frac{5}{3}\cdot \ x \cdot \frac{1}{2} \cdot (3x^2-1) - \frac{2}{3}\cdot x =\\&&=\frac{1}{2} \cdot (5x^3-3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_4(x)&&=\frac{7}{4}\cdot x \cdot \frac{1}{2} \cdot (5x^3-3x) - \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2} \cdot (3x^2-1)= \\&&= \frac{1}{8} \cdot (35x^4-30x^2+3) \end{eqnarray*}$

21.09.2008, 00:36

tigerbine

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3. Jacobi-Polynome
Die in 1 und 2 vorgestellten Polynome kann man als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachten. Diese haben die allgemeine Gewichtsfunktion

$\begin{eqnarray*} \gamma_J(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta} \end{eqnarray*}$

Legendre-Polynome

$\begin{eqnarray*} \gamma_L(x)=(1-x)^{0}(1+x)^{0} \end{eqnarray*}$

Tschebyscheff-Polynome

$\begin{eqnarray*} \gamma_T(x)=(1-x)^{-0.5}(1+x)^{-0.5} \end{eqnarray*}$

22.09.2008, 21:13

tigerbine

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4. Schema von Golub & Welsch
...oder anders gesagt, die Berechnung der Nullstellen von orthogonalen Polynomen mittels der Eigenwerte einer Tridiagonalmatrix. Der Beweis, warum das Verfahren erfolgreich ist, soll hier nicht geführt werden.Man findet ihn zum Bsp. hier oder hier. Es soll vielmehr dargestellt werden, wie man aus den bekannten Rekursionsformeln (Dreitermrekursion) die Matrix bestimmt und auswertet.

Allgemeine Dreitermrekursion

Seien $\begin{eqnarray*} q_{n+1} \in \Pi_{n+1} \end{eqnarray*}$ bezüglich des Skalarprodukts $\begin{eqnarray*} <f,g>:=\int_{a}^{b}\gamma(x)f(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$ orthogonale Polynome mit den Höchstkoeffizienten $\begin{eqnarray*} h_{n+1},~n+1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es Zahlen $\begin{eqnarray*} c_{n+1},a_n,b_{n.1} \end{eqnarray*}$ so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} c_{n+1}q_{n+1} = (x-a_n)q_n-b_{n-1}q_{n-1},\quad n\neq 0,~q_{-1}=0,~q_0=0 \end{eqnarray*}$

Dabei gilt für die Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} c_{n+1} = \frac{h_n}{h_{n+1}},~a_n=\frac{<xq_n,q_n>}{<q_n,q_n>},~b_{n-1}=\frac{h_{n-1}<q_n,q_n>}{h_n<q_{n-1},q_{n-1}>} \end{eqnarray*}$

Normierte Dreitermrekursion

$\begin{eqnarray*} c_{n+1}q_{n+1} = (x-a_n)q_n-b_{n-1}q_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{n+1} \cdot h_{n+1} \cdot \hat{q}_{n+1} = (x-a_n) \cdot h_n \cdot \hat{q}_n-b_{n-1}\cdot h_{n-1} \cdot \hat{q}_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{q}_{n+1} = (x-a_n) \cdot \frac{h_n}{c_{n+1} \cdot h_{n+1}} \cdot \hat{q}_n-b_{n-1}\cdot \frac{h_{n-1}}{c_{n+1} \cdot h_{n+1}} \cdot \hat{q}_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{q}_{n+1} = (x-a_n) \cdot \hat{q}_n-b_{n-1}\cdot c_{n} \cdot \hat{q}_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat{q}_{n+1} = (x-\hat{a}_n) \cdot \hat{q}_n-\hat{b}_{n-1} \cdot \hat{q}_{n-1} \end{eqnarray*}$

Dabei gilt:

$\begin{eqnarray*} \hat{c}_{n+1} = 1, ~\hat{a}_n = a_n,~\hat{b}_{n-1} = b_{n-1} \cdot c_n \end{eqnarray*}$

Nullstellen und Eigenwerte

Hat das orthogonale Polynom den Grad (n+1), so sind seine Nullstellen die Eigenwerte der Tridiagonalmatrix

$\begin{eqnarray*} A_{n+1}:= \begin{pmatrix} \hat{a}_0 & \sqrt{\hat{b}_0} & &\hdots & 0 \\ \sqrt{\hat{b}_0} & a_1 &\ddots & & \vdots \\ &\ddots & \ddots & \ddots & \\ \vdots & &\ddots & \hdots & \sqrt{\hat{b}_{n-1}} \\ 0 & \hdots & & \sqrt{\hat{b}_{n-1}} & \hat{a}_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gewichte und Eigenvektoren

Die Eigenvektoren müssen so normiert sein, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \hat v_i^T \hat v_i = <q_0,q_0> \end{eqnarray*}$

Dabei gilt für das Skalarprodukt auf der rechten Seite:

$\begin{eqnarray*} q:=<q_0,q_0> = \int_{a}^{b}~\gamma(x)\cdot q_0 \cdot q_0~dx \end{eqnarray*}$

Dann kann man die gesuchten Eigenvektoren wie folgt aus denen aus einem Algorithmus erhaltenen Eigenvektoren erhalten:

$\begin{eqnarray*} \hat v_i = \frac{v_i}{||v_i||_2} \cdot \sqrt{q} \end{eqnarray*}$

Das gesuchte Gewicht erhalt man dann, indem man die erste Komponente des EVs quadriert.

$\begin{eqnarray*} \omega_i=[(\hat v_i)_{(1)}]^2 \end{eqnarray*}$

22.09.2008, 21:13

tigerbine

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4a. Schema für die Legendre-Polynome
Aus der Rekursionsformel entnehmen wir die Werte:

$\begin{eqnarray*} c_{n+1} = \frac{n+1}{2n+1},~a_n=0,~b_{n-1}=\frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich dann:

$\begin{eqnarray*} \hat{c}_{n+1} = 1,~\hat{a}_n=0,~\hat{b}_{n-1}=\frac{n^2}{4n^2-1} \end{eqnarray*}$

Die Gewichtsfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} \gamma(x)=1 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich insbesondere, dass die Summe der Gewichte gleich der Länge des Intervalls [-1,1] ist.

Daraus ergeben sich dann:

$\begin{eqnarray*} q=\int_{-1}^{1}~1\cdot 1\cdot 1~dx = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat v_i = \frac{v_1}{||v_1||_2} \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:

In den Zeilen stehen aufsteigend die Koeffizienten der
LEGENDRE-Polynome:
------------------------------------------------------
LP =
    1.0000         0         0         0         0
         0    1.0000         0         0         0
   -0.5000         0    1.5000         0         0
         0   -1.5000         0    2.5000         0
    0.3750         0   -3.7500         0    4.3750
 
Die 5 Knoten lauten:
-----------------------
x =
   -0.9062   -0.5385    0.0000    0.5385    0.9062
 
Die 5 Gewichte lauten:
-----------------------
w =
    0.2369    0.4786    0.5689    0.4786    0.2369

22.09.2008, 21:14

tigerbine

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4b. Schema für die Tschebyscheff-Polynome (erster Art)
Aus der Rekursionsformel entnehmen wir die Werte (für n>1):

$\begin{eqnarray*} c_{n+1} = 0.5,~a_n=0,~b_{n-1}=0.5 \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich dann:

$\begin{eqnarray*} \hat{c}_{n+1} = 1,~\hat{a}_n=0,~\hat{b}_{n-1}=0.25 \end{eqnarray*}$

Die Gewichtsfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} \gamma(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich dann:

$\begin{eqnarray*} q=\int_{-1}^{1}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot 1\cdot 1~dx =[\arcsin(x)]_{-1}^{1}=\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat v_i = \frac{v_1}{||v_1||_2} \cdot \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:

n den Zeilen stehen aufsteigend die Koeffizienten der
TSCHEBYSCHEFF-Polynome:
------------------------------------------------------
TP =
     1     0     0     0     0
     0     1     0     0     0
    -1     0     2     0     0
     0    -3     0     4     0
     1     0    -8     0     8
 
Die 4 Knoten lauten:
-----------------------
xT =
   -0.9239   -0.3827    0.3827    0.9239
 
Die 4 Gewichte lauten:
-----------------------
wT =
    0.7854    0.7854    0.7854    0.7854

Hier sei angemerkt, dass es für die Nullstellen der Tschebyscheff-Polynome auch eine direkte Berechnung gibt:

$\begin{eqnarray*} x_j = \cos \Bigl(\frac{2i-1}{2n}\cdot \pi \Bigr) \end{eqnarray*}$

Auch die Berechnung der Gewichte gelingt einfacher, denn sie sind alle gleich groß:

$\begin{eqnarray*} w_i = \frac{\pi}{n} \end{eqnarray*}$

22.09.2008, 21:15

tigerbine

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4c. Schema für die Laguerre-Polynome
Detaillierte Information zu diesen Polynomen gibt es hier.

Die ersten Polynome

Die Nullstellen liegen im Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \end{eqnarray*}$ , approximiert wird bei dieser Gauss-Quadratur das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^x}\cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Aus der Rekursionsformel entnehmen wir die Werte:

$\begin{eqnarray*} c_{n+1} = -(n+1),~a_n=2n+1,~b_{n-1}=-n \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich dann:

$\begin{eqnarray*} \hat{c}_{n+1} =1 ,~\hat{a}_n=2n+1,~\hat{b}_{n-1}=n^2 \end{eqnarray*}$

Die Gewichtsfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} \gamma(x)=\frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich dann:

$\begin{eqnarray*} q=\lim_{b \to\infty}\int_{0}^{b}~\frac{1}{e^x}\cdot 1\cdot 1~dx =\lim_{b \to\infty}[-\frac{1}{e^x}]_{0}^{b}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat v_i = \frac{v_1}{||v_1||_2} \cdot \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:
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8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:

In den Zeilen stehen aufsteigend die Koeffizienten der
LAGUERRE-Polynome:
------------------------------------------------------
LaP =
    1.0000         0         0         0         0
    1.0000   -1.0000         0         0         0
    1.0000   -2.0000    0.5000         0         0
    1.0000   -3.0000    1.5000   -0.1667         0
    1.0000   -4.0000    3.0000   -0.6667    0.0417
 
Die 4 Knoten lauten:
-----------------------
xLa =
    0.3225    1.7458    4.5366    9.3951
 
Die 4 Gewichte lauten:
-----------------------
wLa =
    0.6032    0.3574    0.0389    0.0005

22.09.2008, 21:17

tigerbine

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4d. Schema für die Hermite-Polynome
Detaillierte Informationen zu diesen Polynomen gibt es hier

Die ersten Polynome

Die Nullstellen liegen im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ , approximiert wird bei dieser Gauss-Quadratur das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{e^{x^2}}\cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Aus der Rekursionsformel entnehmen wir die Werte:

$\begin{eqnarray*} c_{n+1} = 0.5,~a_n=0,~b_{n-1}=n \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich dann:

$\begin{eqnarray*} \hat{c}_{n+1} =1 ,~\hat{a}_n=0,~\hat{b}_{n-1}=0.5n \end{eqnarray*}$

Die Gewichtsfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} \gamma(x)=\frac{1}{e^{x^2}} \end{eqnarray*}$

Daraus ergeben sich dann:

$\begin{eqnarray*} q=\int_{-\infty}^{+\infty}~\frac{1}{e^{x^2}}\cdot 1\cdot 1~dx =\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat v_i = \frac{v_1}{||v_1||_2} \cdot \sqrt[4]{\pi} \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:

In den Zeilen stehen aufsteigend die Koeffizienten der
HERMITE-Polynome:
------------------------------------------------------
HP =
     1     0     0     0     0
     0     2     0     0     0
    -2     0     4     0     0
     0   -12     0     8     0
    12     0   -48     0    16
 
Die 4 Knoten lauten:
-----------------------
xH =
   -1.6507   -0.5246    0.5246    1.6507
 
Die 4 Gewichte lauten:
-----------------------
wH =
    0.0813    0.8049    0.8049    0.0813

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[WS] Orthogonale Polynome

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