Bestimmung Grenzwert

12.12.2004, 19:23	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung Grenzwert Wie kann ich bei dieser Folge den Grenzwert bestimmen? $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~{\frac{1}{4k^2-1}} \end{eqnarray}$ Die Methodik bzw. der Ansatz fehlt mir...
12.12.2004, 19:40	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung Grenzwert Partialbruchzerlegung und dann 'beobachten' dass summe[1..k](...) = k/(2*k+1) .
12.12.2004, 19:51	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung Grenzwert hae? das war jetzt etwas zuuu knapp verfasst ...
12.12.2004, 20:01	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2(2k-1)}-\frac{1}{2(2k+1)}\\ \Rightarrow \sum_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4n+2}\longrightarrow\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$
12.12.2004, 21:24	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung Grenzwert wie kommst du auf deine erste Zeile? $\begin{eqnarray} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \end{eqnarray}$ Woher nimmst du das "-" ?
12.12.2004, 22:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das nennt man Parialbruchzerlegung. Das kannst du ganz einfach durch erweitern nachweisen. Den Weg dahin zeigt folgendes Verfahren: Sei z.B. ein Bruch $\begin{eqnarray} \frac{1}{ab} \end{eqnarray}$ gegeben und man möchte jetzt ein Summe haben, wo a im Nenner des einen Summanden steht und b im Nenner des anderen, also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{ab}=\frac{A}{a}+\frac{B}{b} \end{eqnarray}$ Jetzt muss man nur noch A und B bestimmen. Das zeig ich mal an deinem Beispiel: Man versucht also folgendes zu bekommen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{A}{2k-1}+\frac{B}{2k+1} \end{eqnarray}$ rechte Seite erweitern: $\begin{eqnarray} \frac{A}{2k-1}+\frac{B}{2k+1}=\frac{A(2k+1)+B(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{2kA+2kB+A-B}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{2k(A+B)+A-B}{(2k-1)(2k+1)} \end{eqnarray}$ Also muss gelten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{2k(A+B)+A-B}{(2k-1)(2k+1)}\ \ \ \|\ \cdot (2k-1)(2k+1) \end{eqnarray}$ und jetzt vergleicht man die Koeffizienten, dazu schreibt man die linke Seite noch anders (das macht man normalerweise mit Routine dann im Kopf): $\begin{eqnarray} 2k\cdot 0+1=2k(A+B)+A-B \end{eqnarray}$ Also muss gelten: $\begin{eqnarray} A+B=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A-B=1 \end{eqnarray}$ GLS lösen und du bekommst die Darstellung von Gast.
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13.12.2004, 06:51	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
diese Methodik kannte ich noch garnicht! Danke für die Mühe! Jetzt ist es klar. Gruß
13.12.2004, 18:08	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntet ihr mir bitte nochmal helfen? Kann ich eigentlich sagen, dass wenn ich einen Grenzwert gefunden habe, also dieser existiert, die Folge konvergiert? Z.B.Diese Folge $\begin{eqnarray} b_n:=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray}$ soll ich auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert bestimmen. Nun ich habe herausgefunden, dass die Folge den Grenzwert 0 hat, also sie strebt gegen 0. D.h. die Folge konvergiert gegen 0, also ist sie konvergent, richtig? danke für eventuelle antworten!

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