Grenzwert

25.04.2007, 12:55

ulf_m

Grenzwert

hallo; ich habe bei einer aufgabe die fragestellung auf folgenden ausdruck gebracht, allerdings habe probleme diesen grenzwert zu berechnen.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=o}^{n-1}-e^{\frac{i}{n}} \end{eqnarray*}$
das ergebnis ist $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ . mir fehlt aber wohl der nötige trick für den lösungweg. danke für antworten : )

25.04.2007, 13:13

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Stichwort: geometrische Reihe
Augenzwinkern

25.04.2007, 13:39

Sumo

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von klarsoweit
Stichwort: geometrische Reihe
Augenzwinkern

Unsinn!
Geom. Reihe bringt hier nix.
Du hast hier die Zwischensumme eines recht elementaren Integrals...

25.04.2007, 14:03

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RE: Grenzwert
@Sumo

Du bist es, der hier Unsinn erzählt.

@ulf_m

Kann es sein, dass du dich verschrieben hast? Das Ergebnis passt eher zu

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} ~ e^{-\frac{i}{n}} \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 14:05

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Die Summe als Zwischensumme eines elemetaren Integrals zu betrachten, ist sicherlich die beste Lösungsvariante. Mit der geometrischen Reihe kommt man aber auch hin:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n-1}e^{\frac{i}{n}} = \sum_{i=0}^{n-1}(e^{\frac{1}{n}})^i = \frac{1 - (e^{\frac{1}{n}})^n}{1-e^{\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$

Für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\frac{\frac 1 n}{1-e^{\frac{1}{n}}} = \lim_{x \to 0}~\frac{x}{1-e^x} \end{eqnarray*}$
kann man l'Hospital bemühen oder man faßt das als Kehrwert eines Differenzenquotienten auf.

Ich komme allerdins nicht auf das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ .

25.04.2007, 14:25

Sumo

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RE: Grenzwert
So so...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{-1}{n}\exp\left(\frac{k}{n}\right)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} \int_0^1~-\exp(x)~dx=1-e \end{eqnarray*}$

ist also Unsinn ja???

25.04.2007, 14:28

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Das mit dem Unsinn bezog sich auf deine Aussage, daß der Weg über die geometrische Reihe Unsinn wäre. Mit der Integral ist sicherlich geschickter, deswegen muß der andere Weg aber nicht schlecht oder eben unsinnig sein.

25.04.2007, 14:29

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das mit dem Unsinn bezog sich auf deine Aussage, daß der Weg über die geometrische Reihe Unsinn wäre.

Genauso habe ich es gemeint! Einfach anderer Leute Weg abzuqualifizieren ohne sie zu verstehen, ist nicht die feine Art.

25.04.2007, 19:51

ulf_m

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Zitat:

Original von Arthur Dent

@ulf_m

Kann es sein, dass du dich verschrieben hast? Das Ergebnis passt eher zu

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} ~ e^{-\frac{i}{n}} \end{eqnarray*}$

ja du hast recht ich hab mich verschrieben. das war jetzt natürlich sehr dumm von mir sry^^. aber danke für die hilfreichen antworten. ich habe es mit der geometrischen reihe und dann der regel von l'Hospital gelöst. ohne meinen schreibfehler kommt dann auch $\begin{eqnarray*} 1-e^{-1} \end{eqnarray*}$ raus.

26.04.2007, 08:41

klarsoweit

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Um nochmal den Vorschlag von Sumo aufzugreifen:
Wenn bei euch das Oberthema "Integralrechnung" lautet, dann wäre die Idee, die Summe als Riemann-Summe eines Integrals aufzufassen, natürlich die bessere Variante.

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