brauche eure beurteilung!

12.12.2004, 21:50

dieFragende

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brauche eure beurteilung!

HALLO erstmal, ich muss bei meiner funktion die größtmöglichen intervalle, in denen f stetig ist und diejenigen, in denen f überall positiv bzw. negativ ist bestimmen. Bin soweit gekommen
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x- 1} \end{eqnarray*}$
ich habe angefangen mit der bestimmung von intervallen, in denen f überall positiv bzw. negativ ist bestimmen.
f(x) > 0 <=> $\begin{eqnarray*} x^3 - x^2 - x + 1 > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x - 1) > 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x^3 - x^2 - x + 1) < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x - 1) > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) > 0 <=> \in ]1, \infty [ U ]-\infty , -1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) < 0 <=> \in ]-1,1[ \end{eqnarray*}$
jetzt rechne ich mit x -> 1
$\begin{eqnarray*} (x^3 - x^2 - x + 1) -> 0, x - 1 -> 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x - 1) < 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x - 1) > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x > 1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (x^3 - x^2 - x + 1) -> 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x - 1 -> 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x - 1) < 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (x^3 - x^2 - x + 1) -> 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x - 1 -> 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x - 1 > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$
so weit bin ich gekommen. Ist es überhaupt richtig? Und bei der bestimmung der größtmöglichen intervalle, in denen f stetig ist, weiß ich leider nicht, was ich machen soll.
wäre nett, wenn sich das jemand von euch angucken könnte.

12.12.2004, 22:54

Mathespezialschüler

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Also erstmal ist das alles sehr unübersichtlich, aber vor allem ist falsch, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gelten sollen, denn wenn du einen Grenzwert bildest und der Nenner geht gegen 0, dann darfst du nicht einfach Nenner und Zähler getrennt betrachten und es ist auch nicht $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0}=0 \end{eqnarray*}$ . Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert, weil die Division durch 0 nicht definiert ist!!!

So und jetzt fängst du am besten nochmal ganz von vorn an. Ich nehme an, die Funktion ist für alle reellen x außer 1 definiert. Also kannst du dann erstmal für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ eine Polynomdivision durchführen, denn bei deiner falschen Grenzwertbetrachtung hast du ja schon gesehen, dass 1 Nullstelle des Zählers ist.
Dann kommst du darauf, dass

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-1\ \ \ \ x\neq 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du ganz einfach bestimmen, wann $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ , wann $\begin{eqnarray*} f(x)<0 \end{eqnarray*}$ und wann $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Und natürlich ist die Funktion als Polynom auf dem gesamten Definitionsbereich stetig und in x=1 sogar stetig fortsetzbar.

12.12.2004, 22:56

quarague

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ich würde deine Funktion mal scharf angucken und sagen, da kann man x-1 kürzen. Also für x=1 ist die Funktion nicht definiert und damit weder stetig noch positiv oder negativ oder sonst irgendwas. Für alle anderen x ist f(x)=x^2-1 Das ist für alle x stetig, und wo da Nullstellen sind und damit wo sie positiv und negativ ist, bestimmt sich auch recht einfach.

12.12.2004, 23:05

dieFragende

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Also erstmal ist das alles sehr unübersichtlich, aber vor allem ist falsch, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gelten sollen, ...
Jetzt kannst du ganz einfach bestimmen, wann $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ , wann $\begin{eqnarray*} f(x)<0 \end{eqnarray*}$ und wann $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Und natürlich ist die Funktion als Polynom auf dem gesamten Definitionsbereich stetig und in x=1 sogar stetig fortsetzbar.

hi danke dir für deine tipps. Leider verstehe ich nicht, warum das falsch ist, dass die links- und rechtsseitige betrachtung des grenzwertes dazu führt, dass die funktion bei beiden gegen 0 strebt. ich setze doch die 1 ein oder nicht? dann kommt aber 0 raus. Und dass die funktion in x=1 stetig ist und weiter fortsetzbar, kann ich nicht einfach hinschreiben, sondern muss beweisen.Ich weiß dass sie immer stetig auf D(f) als rationale funktion ist, Aber das reicht nicht aus. Unser tutor hat uns diesen rechenweg gezeigt, aber ich komme da nicht so ganz mit.

12.12.2004, 23:24

Mathespezialschüler

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Ok, anders gefragt:
Ist bei dir $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0}=0 \end{eqnarray*}$ ??? Das hast du hier nämlich angewendet ...

12.12.2004, 23:45

dieFragende

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achso jetzt verstehe ich was du meinst!

Zitat:

Ist bei dir ??? Das hast du hier nämlich angewendet ...

DU meinst, dass ich die 1 in die funktion einsetze und dabei 0 rauskommt? aber wie soll ich das anders machen? unser turor hat auch mit dem definitionsbereich gearbeitet, ich meine, was soll ich sonst einsetzen?
Gruß Karina

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12.12.2004, 23:56

Poff

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wenn das mit Einsetzen machbar wäre, bräuchts keine Extravaganzen
und könnte wie jeder sonstige Funktionswert auch einfach
berechnet werden.

Mach dir mal die Mühe und rechne ein paar Funktionswerte in
unmittelbarer Umgebung von 1 aus ..
.

*lol*
kannst dir die Mühe sparen, da kommt ja tatsächlich auch noch Null
raus ... :-o

13.12.2004, 00:03

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von dieFragende
aber wie soll ich das anders machen?

Indem du vorher eine Polynomdivision durchführst!!!

Aber du solltest auch den Tipp von Poff beachten und mal ein paar Werte in der Nähe von 1 einsetzen.

13.12.2004, 00:14

Poff

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Mein 'Tipp' war nicht sonderlich gut, weil das Beispiel taugt nicht *g*
.

13.12.2004, 00:24

dieFragende

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aber die polynomdivision bringt mir doch nicht viel. wenn ich die polynomdivision durchführe, bekomme ich das hier raus: $\begin{eqnarray*} (x^3 - x^2 - x + 1) / (x - 1) = x^2 - 1 \end{eqnarray*}$

13.12.2004, 00:34

Mathespezialschüler

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Richtig und das bringt sehr sehr viel, denn jetzt kannst du den Grenzwert berechnen!!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1}\frac{x^3-x^2-x+1}{x-1}=\lim_{x\to 1} x^2-1=1^2-1=0 \end{eqnarray*}$

!!

13.12.2004, 03:02

dieFragende

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ja, aber den grenzwert hatte ich doch schon berechnet und es kam bei mir auch 0 raus, da hast du gesagt, dass es falsch ist. Oder ist es hier richtig, weil ich keinen bruch habe und nicht durch 0 teile?

13.12.2004, 04:36

Poff

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Zitat:

Original von dieFragende
aber die polynomdivision bringt mir doch nicht viel. wenn ich die polynomdivision durchführe, ...

Wieso bringt die dich nicht weiter ??
Jetzt hast keinen 'störenden' Bruch mehr, ... :-o

Zitat:

Original von dieFragende
.. Oder ist es hier richtig, weil ich keinen bruch habe und nicht durch 0 teile?

so ist es

13.12.2004, 12:21

dieFragende

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aha, das hab ich dann verstanden und jetzt kann ich die 1 einsetzen. Soll ich das dann genau so machen wie ich es oben gemacht habe mit $\begin{eqnarray*} 1^+ und 1^- \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2004, 12:33

Poff

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Nein, das brauchst jetzt nicht mehr weils Grenzwertprobleme
überhaupt keine mehr gibt. Die Funktion ist überall definiert
überall berechenbar und überall stetig.

Das einzige Prob das du hast, ist dass deine 'neue' Funktion nicht
mehr die alte ist ... schon wegen der weggefallenen Probleme.
Hier bedarf es halt etwas Erklärung ...
.

13.12.2004, 20:45

dieFragende

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hi, aber irgendwie muss ich doch hier weitermachen mit der neuen funktion oder nicht?

14.12.2004, 22:46

dieFragende

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hey leute kann mir bitte jemand helfen, muss die aufgabe morgen abgeben, ist echt wichtig.

14.12.2004, 23:32

Poff

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ich versuchs mal so, deine neue Funktion ist

g(x) = (x^2 -1) * 1

deine alte war
f(x) = (x^2 -1) * (x-1)/(x-1)

bei der neuen gibts keine Stetigkeit- Grenzwertprobleme,
nur bei der alten, bei x=1.

Schreibst du aber die alte Funktion in der obigen Form mit der
Brucherweiterung,
(das kannst nur weil du mit der aufgehenden Polynomdivision den
Faktor hast rausfinden können)
dann kannst wunderbar sehen dass der links- und rechtsseitige GW
bei der ALTEN Fkt. gleich ist und mit dem Funktionswert der neuen
Funktion g an dieser Stelle übereinstimmt !!

Warum kann man das so klar sehen ??
Nun deshalb, weil der kritische Faktor (x-1)/(x-1)
für ALLE Werte von x ungleich 1, den WERT 1 ergibt. Folglich ist
auch dessen GW, als GW einer konstanten 'Folge' von EINSEN 1.

Deshalb kann die Unstetigkeit der alten Funktion behoben werden
indem die alte Funktion durch die Neue ersetzt wird.
.

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