Schnittpunkte Ebenenschar und Gerade

25.04.2007, 13:51

Musti

Schnittpunkte Ebenenschar und Gerade

Hallo,

Ich soll bestimmen, für welches $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Ebenenschar E_r: $\begin{eqnarray*} \left[\vec{x}- \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix} r \\ r \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit den Raumdiagonalen durch die Punkte $\begin{eqnarray*} A(0/0/0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(4/4/4) \end{eqnarray*}$ Schnittpunkte hat.

Meine Lösung ist für $\begin{eqnarray*} r=\frac{t-0,5}{1-2t} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Danke

25.04.2007, 14:03

riwe

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RE: Schnittpunkte Ebenenschar und Gerade
ich würde umgekehrt vorgehen:

$\begin{eqnarray*} E: rx +ry+z-4r-2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{2(2r+1)}{2r+1}=2 \end{eqnarray*}$

also existiert für jedes r ein schnittpunkt
wovon man sich durch einsetzen überzeugen kann verwirrt

werner

25.04.2007, 14:09

Musti

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RE: Schnittpunkte Ebenenschar und Gerade
Aha

also alle Werte außer $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ liefern mir Schnittpunkte.

Das heißt wenn ich die Gerade $\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot t \end{eqnarray*}$ in die Normalengleichung der Ebene $\begin{eqnarray*} [\vec{x}- \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetze bekomme ich keinen Schnittpunkt. Habe ich dich da richtig verstanden Werner?

Edit: Übrigens, kann mir einer verraten wie ich große Klammern setze?

25.04.2007, 14:13

riwe

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RE: Schnittpunkte Ebenenschar und Gerade
hallo musti
ich habe mich oben vertan, habe wieder einmal die eigene schrift nicht lesen können und "1" und "t" verwechselt.
jetzt sollte es aber stimmen
werner

ja hast mich richtig verstanden, aber der schnittpunkt wäre S(2/2/2). unglücklich

edit:
zu deiner frage ():

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{2}{3}(adsc)\right) \end{eqnarray*}$

25.04.2007, 14:23

Musti

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RE: Schnittpunkte Ebenenschar und Gerade

Zitat:

Original von wernerrin
ich würde umgekehrt vorgehen:

$\begin{eqnarray*} E: rx +ry+z-4r-2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac{2(2r+1)}{2r+1}=2 \end{eqnarray*}$

Bis zur Koordinatengleichung komme ich mit und verstehe es.

Aber wie bist du zu dem nächsten Schritt gekommen?

Danke

25.04.2007, 14:32

Bjoern1982

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Gilt nicht einfach folgendes :

Gerade g und Ebene E schneiden sich genau dann wenn Normalenvektor von E und Richtungsvektor von g NICHT senkrecht zueinander stehen ----> Skalarprodukt ungleich null verwirrt

Gruß Björn

25.04.2007, 14:45

riwe

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@bjoern:
ja, das ist zweifelsohne der bessere weg.
das bedeutet dann:
für alle r außer r = -0.5
(das 2r +1= 0 im nenner, wie immer schlampig und/oder alterbedingte senilität Big Laugh

)
werner

@musti: g in E einsetzen

25.04.2007, 14:49

Musti

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Alles klar Freude

Habs verstanden. Danke Leute

25.04.2007, 15:13

Musti

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RE: Schnittpunkte Ebenenschar und Gerade
@Werner

Dann stimmt meine Lösung bis dahin ja oder nicht denn:
$\begin{eqnarray*} r=\frac{t-0,5}{1-2t}= \frac{-2t+1}{-2\cdot (-2t+1)}= -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder denke ich wieder ganz falsch?

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