zahlentheorie

25.04.2007, 16:27

anna-lena

zahlentheorie

hallo Leute!
hab folgende Aufgabe:
Falls a,b,c paarweise verschiedene natürliche Zahlen sind, dann gibt es eine natürliche Zahl n, so dass a+n, b+n, c+n paarweise teilerfremd sind.

...kann mir jemand tipps geben wie ich das beweisen soll??

25.04.2007, 16:37

sqrt4

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Ich weiß nicht wie ichs jetzt groß erklären soll, ohne gleich die Antwort zu geben. $\begin{eqnarray*} n=abc+1 \end{eqnarray*}$

Edit: Sorry..Aufgabenstellung nicht richtig gelesen, ich dachte, dass a+n zu a teilerfremd sein soll. sry Hammer

25.04.2007, 19:49

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Ein einfach zu formulierendes Problem, aber sehr interessant.

Ich hab einen leidlich konstruktiven Weg gefunden, der mir aber momentan noch etwas umständlich erscheint:

O.B.d.A. sei $\begin{eqnarray*} a<b<c \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} g = \operatorname{ggT}(b-a,c-a) \end{eqnarray*}$ , dann gilt auch

$\begin{eqnarray*} g = \operatorname{ggT}(b-a,c-a-(b-a)) = \operatorname{ggT}(b-a,c-b) \end{eqnarray*}$ ,

insbesondere ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ dann ein Teiler aller dieser drei Differenzen. Weiterhin hat die Kongruenz

$\begin{eqnarray*} k\cdot (c-a) - l\cdot (c-b) = g \end{eqnarray*}$

natürliche Lösungen $\begin{eqnarray*} k,l \end{eqnarray*}$ . Und jetzt wählen wir einfach

$\begin{eqnarray*} n = k\cdot \frac{(b-a)(c-a)}{g}-a+1 \end{eqnarray*}$

und zeigen, dass es damit klappt!

EDIT: Ähem, ich merke gerade, dass auf diese Weise n auch negativ werden könnte... Ok, ist kein Beinbruch: Streichen wir "irgendeine Lösung k" und ersetzen es durch "genügend große Lösung k", dann ist auch das ausgebügelt. Augenzwinkern

25.04.2007, 21:17

anna-lena

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Und jetzt wählen wir einfach

$\begin{eqnarray*} n = k\cdot \frac{(b-a)(c-a)}{g}-a+1 \end{eqnarray*}$

und zeigen, dass es damit klappt!

Danke für die Hilfe!
Kannst du bitte erklären warum du n so gewählt hast??
LG

25.04.2007, 21:34

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Nein, erklären, wie man drauf kommt, das ist was für Didakten - ein solcher bin ich nicht.

Ich kann höchstens erklären, warum es damit klappt.

25.04.2007, 21:38

anna-lena

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ja, wäre super, wenn du mir das erklären könntest! und danke vielmals!!

25.04.2007, 22:02

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Naja, einfach mal nachrechnen - dabei verwende ich desöfteren die ggT-Umformungsregel $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(u,v) = \operatorname{ggT}(u,v-w\cdot u) \end{eqnarray*}$ , die für beliebige ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ gültig ist. Mit dem angegebenen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt nun

$\begin{eqnarray*} n+a-1 = k\cdot \frac{c-a}{g}\cdot (b-a) \end{eqnarray*}$ ist ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} (b-a) \end{eqnarray*}$ , also ist

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(n+a,n+b) = \operatorname{ggT}(n+a,(n+b)-(n+a)) = \operatorname{ggT}((n+a-1)+1,b-a) = ggT(1,b-a) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Analog dazu ist $\begin{eqnarray*} n+a-1 \end{eqnarray*}$ auch ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} (c-a) \end{eqnarray*}$ , es folgt auf dieselbe Weise wie eben $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(n+a,n+c) = ggT(1,c-a) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Schließlich ist gemäß Konstruktion

$\begin{eqnarray*} n+b-1 = k\cdot \frac{(b-a)(c-a)}{g}+b-a = \frac{b-a}{g} \cdot (k(c-a)+g) \stackrel{!}{=} \frac{b-a}{g} \cdot l(c-b) \end{eqnarray*}$

ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} (c-b) \end{eqnarray*}$ , also folgt auch

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(n+b,n+c) = \operatorname{ggT}(n+b-1+1,c-b) = ggT(1,c-b) = 1 \end{eqnarray*}$ .

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