integrieren von ln - substitution der richtige weg?

25.04.2007, 17:44	need help	Auf diesen Beitrag antworten »
integrieren von ln - substitution der richtige weg? ich habe eigentlich eine ganz generelle frage, die ich vielleicht am besten mit einer beispielaufgabe erläutern könnte. und zwar machen wir gerade integration durch substitution. bei den aufgaben die wir zu lösen haben, sollen wir uns aber selber entscheiden, ob wir das oben geannte verfahren anwenden und durch patentielle integration zum ergebnis finden. hier eine beispielaufgabe: $\begin{eqnarray} \int\limits_{1}^{e}~{x^2 ln(x) ~{\mathrm{d}x}} \end{eqnarray*}$ wenn ich die patentielle integration anwende, ist sogar die doppelte notwendig. in dem fall würde ich wieder bei der ausgangsaufgabe ankommen, somit ergibt sich auf diesem weg für mich keine lösung. deshalb habe ich mich an das substitutionsverfahren rangemacht. dieses verfahren werndet man meines wissens nach bei der integration der kettenregel an. mein problem hierbei ist das ln(x). ist das so zu behandeln? ist das ln die äußere und das x die innere funtktion? falls ja, könnte ich ja meinen lösungsansatz hier herrein stellen und ihr könntet mir evtll bei der problemlösung behilflich sein. denn durch diese weise komme ich ebenfalls nicht auf ein ergebnis. falls nein, klärt mich bitte auf, wie es richtig sein muss vielen dank schon mal für antworten.
25.04.2007, 17:47	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Integration fuktioniert hier ohne Probleme. Tipp: wähle $\begin{eqnarray} u'=x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=ln(x) \end{eqnarray}$
25.04.2007, 18:07	need help	Auf diesen Beitrag antworten »
hab ich genauso versucht. ich kann es ja mal niederschreiben. vielleicht fällt euch mein fehler ehr auf als mir selber. $\begin{eqnarray} \int_{1}^{e}~x^2 ln(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = [x^2 * \frac{1}{x} ]_{1}^e - \int_{1}^{e}~\frac{1}{3}x^3 * \frac{1}{x}~dx \end{eqnarray}$ so, das zweite muss ich natürlich wieder integrieren, weil hiervon die stammfunktion ja noch recht unmöglich ist. meine entscheidung: $\begin{eqnarray} v = \frac{1}{3}x^3 und u' = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = [x^2 * \frac{1}{x}]_{1}^e - \int_{1}^{e}~x^2 * ln(x)~dx \end{eqnarray}$ und da ist das beschriebene problem .. hätte ich problemlos von $\begin{eqnarray} \int_{1}^{e}~x^2 * ln(x)~dx \end{eqnarray*}$ die stammfunktion bilden können, hätte ich mir die partentielle integralrechnung sparen können. und es bringt ja nichts, jetzt nochmal alles von vorne zu machen, da ich ja dann wieder vor dem selben problem stehen würde. oder hab ich einen gravierenden fehler gemacht?
25.04.2007, 18:18	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
mehr oder weniger gravierend Kürz doch einfach mal !
25.04.2007, 18:32	need help	Auf diesen Beitrag antworten »
wo soll cih was kürzen? darf ich so ohne weiteres im integrad kürzen? aber selbsdt wenn die antwort "ja" lauten würde, wüsst ich s trotzdem nicht .. ich bin überfordert ^^ ist denn bis hierhin alles richtig? und noch eine frage: ist patentielle integration hier der einzige weg oder wäre substitution auch eine möglichkeit?
25.04.2007, 18:37	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{3}x^3\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{3}x^2 \end{eqnarray}$
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25.04.2007, 18:48	need help	Auf diesen Beitrag antworten »
ja .. ok, das seh ich ein. aber da ist ja nicht das problem. hiervon benötige ich ja nicht die stammfunktion (ist ja schon vorhanden) es geht um das integral $\begin{eqnarray} \int_{1}^{e}~x^2 ln(x)~dx \end{eqnarray*}$ denn hier müsste ich ja die doppelte patentielle integration durchführen, um an den zweiten teil der stammfunktion zu kommen. aber das dieses integral ja exakt das selbe ist, wie mein ausgangsintegral, wäre das ja ein endloser prozess .. verstehst du mein problem?
25.04.2007, 18:55	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
NEIN versteh ich nicht. ALSO es gilt: $\begin{eqnarray} \int u'v = uv-\int uv' \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} u'=x^2 \end{eqnarray}$ ; also $\begin{eqnarray} u=\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v= ln(x) \end{eqnarray}$ ; also $\begin{eqnarray} v'=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Einsetzen. $\begin{eqnarray} \int x^2\cdot ln(x) ~ \dx = \frac{1}{3}x^3\cdot ln(x)-\int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} \dx=\frac{1}{3}x^3\cdot ln(x)-\int \frac{1}{3}x^2~\dx=\frac{1}{3}x^3\cdot ln(x)-\frac{1}{9}x^3 \end{eqnarray}$

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