Extremwertbestimmung bei einer Relation?

Neue Frage »

hoch Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertbestimmung bei einer Relation?
Tagchen zusammen.
Ich hätte mal eine Frage, und zwar wie bestimme ich die Hochpunkte bei einer Relation.
Ich habe eine Spirale (logarithmische Spirale) und muss dort die Extremwerte bestimmen.
nun hab ich meine Paramterfunktion dazu:
x(t)=a*cos(a*t)*exp(b*t)
y(t)=a*sin(a*t)*exp(b*t)
diese hab ich jeweils abgeleitet, gleich null gesetzt und nach t aufgelöst. Bei x(t) nach t aufgelöst erhalte ich nun eine Formel die so aussieht: t=(arcsin(b/wurzel pi²+b²))/pi. Nun muss ich den punkt ja um einen Extremwert zu bekommen, in meine eigentliche Funktion einsetzten.
Wenn ich dies mache, bekomm ich nun ein X(t) in abhängigkeit von parametern a und b. Wenn ich diese also wähle bekomme ich einen punkt auf der x achse, der sich als extremwert herausstellt. Wie erhalte ich jedoch die anderen werte. da es eine spirale ist muss es eigentlich ja unendlich viele geben, weil die spirale nie aufhört, ich weiss aber leider nur wie ich den einen bekomme, kann mir jemand helfen?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie verstehe ich diese Aufgabe nicht. Was meinst du genau mit 'Hochpunkten' ?

Da es sich um eine Spirale handelt, kannst du höchstens die Punkte mit horizontaler oder vertikaler Tangente bestimmen.

Die Punkte mit Tangente parallel zu x-Achse erhältst du aus dy/dx = 0, entsprechend dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt), also aus dy/dt = 0, und daraus die t usw. War das gemeint ?
hoch Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich suche die punkte die parallel zur x-achse sind, bzw parallel zu y- achse, weiss aber nicht genau wie ich auf alle komme. den einen halt, wie ich es beschrieben habe, oder stimmt das gar nicht und ich muss es ganz anders berechnen?
murray Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertbestimmung bei einer Relation?
Man setzt = 0 (a*e^(b*t) fällt weg), jetzt stehen nur noch sin und cos-Funktionen mit der gleichen Kreisfrequenz dar! (Dies bedeutet der Nulldurchgang wird sich unendlich oft wiederholen (alle 360°))!

Aber was du mit dem wohl anfangen willst? verwirrt
Der Vorschlag von etzwane klingt wesentlich besser! Aber das mit den 360° gilt hier detto! smile

Vorallem glaub ich nicht dass deine Lösung stimmt (das mit arcsin (...))! Wenn mal nachdenkts: Wie soll x'(t) =0 und gleichzeitig y'(t)= 0 sein! Das würde bedeuten dass die Funktionen für ein vortlaufendes t mal ganz stehen bleiben würden. (Da muss schon was komplexes rauskommen, damit das möglich sein könnte)!

mfg
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Damit solltest du das Ergebnis schon ermittelt haben, zur Kontrolle kurz:

tan(at) = -a/b zur Ermittlung der Punkte mit Tangenten parallel zur x-Achse
tan(at) = b/a zur Ermittlung der Punkte mit Tangenten parallel zur y-Achse

Die Punkte liegen also auf 2 Geraden, die durch den Nullpunkt gehen und senkrecht aufeinander stehen.
hoch Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, also bezüglich meiner ableitung wäre ich mir schon sicher gewesen:
x`(t) = a*cos(t*pi) * [ableitung von exp(bt)] + [ableitung von a*cos(t*pi)] * exp(bt)

x`(t) = a*cos(t*pi) * b*exp(bt) + a*(-sin(t*pi)*pi) + exp(bt)

es gilt ja: exp(bt) > 0

d.h. entweder a=0

oder eine kombination aus beiden summanden gibt null

d.h. a*exp(bt) * [bcos(t*pi) - sin(t*pi)*pi] = 0

also bcos(t*pi) - sin(t*pi)*pi = 0

bcos(t*pi) = sin(t*pi)*pi jetzt quadrieren

b²cos²(t*pi) = pi²sin²(t*pi) es gilt: cos² = 1-sin²

also b²(1-sin²(t*pi)) = pi²sin²(t*pi)

es folgt: b² - b²sin²(t*pi) = pi²sin²(t*pi)

es folgt: sin²(t*pi) * [pi²+b²] = b²

es folgt: sin²(t*pi) = b² / [pi²+b²]

es folgt: t=(arcsin(b/wurzel pi²+b²))/pi

oder ist hier schon ein Fehler?

Wenn ichs dann also so mache wie du sagst etzwane, geb ich für a und b einen bestimmten wert ein, z.B. jeweils 1
=> tan(t)=-1
muss ich nun den tan^-1 von (-1) nehmen um ein t zu bekommen?
Soll ich nun das t in die ursprüngliche gleichung einsetzen, aber wie komme ich dann auch die ganzen x-Werte?
Irgendwie steh ich auf dem schlauch.
 
 
murray Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hoch
hmm, also bezüglich meiner ableitung wäre ich mir schon sicher gewesen:
x`(t) = a*cos(t*pi) * [ableitung von exp(bt)] + [ableitung von a*cos(t*pi)] * exp(bt)

x`(t) = a*cos(t*pi) * b*exp(bt) + a*(-sin(t*pi)*pi) + exp(bt)



hmm, was ist hier passier? verwirrt (da ist mir ein + zuviel)

und woher kommt das pi?

Also:
x(t):



a<>0


y(t):



a<>0


Gesamt:
1.Gleichung:
2.Gleichung:

jetzt Löse ich das Gleichungssystem nach m,n auf (m= sin(a*t) , n=cos(a*t))
1.Gleichung:
2.Gleichung:

=>
Damit dies für alle Koeffizienten (a,b) gilt!
Dann muss aber auch m=0 und da m=sin(a*t) und n=cos(a*t), ist dies nicht möglich (beide können nicht gleichzeitig (für das gleiche t) Null werden)

mfg
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von murray
Gesamt:
1.Gleichung:
2.Gleichung:

jetzt Löse ich das Gleichungssystem nach m,n auf (m= sin(a*t) , n=cos(a*t))
1.Gleichung:
2.Gleichung:


Und ich denke, hier liegt ein Gedankenfehler vor, denn man muss einerseits die 1.Gleichung = 0 setzen, um die Extremwerte in y-Richtung zu erhalten, und andrerseits die 2.Gleichung = 0 setzen, um die Extremwerte in x-Richtung zu erhalten.
hoch Auf diesen Beitrag antworten »

von mir bei meiner rechung oder von murray?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Antwort bezog sich auf @murray.

Deine Rechnung habe ich erstmal nicht nachvollziehen wollen, weil du a durch pi ersetzt hattest.

Also einen Augenblick bitte.
murray Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber was du mit dem wohl anfangen willst? verwirrt [/B]

Vorallem glaub ich nicht dass deine Lösung stimmt (das mit arcsin (...))!...


Jo da hast du vollkommen recht! Ich habe auch befürchtet du (hoch) wärst so vorgagengen! Daher auch der verwirrt ! Das soll eine Antilösung sein
Daher auch der Schluss:
Zitat:

Dann muss aber auch m=0 und da m=sin(a*t) und n=cos(a*t), ist dies nicht möglich (beide können nicht gleichzeitig (für das gleiche t) Null werden)


Sorry dass ich Verwirrung gestiftet habe Hammer
mfg
murray Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hoch
Wenn ichs dann also so mache wie du sagst etzwane, geb ich für a und b einen bestimmten wert ein, z.B. jeweils 1
=> tan(t)=-1
muss ich nun den tan^-1 von (-1) nehmen um ein t zu bekommen?
Soll ich nun das t in die ursprüngliche gleichung einsetzen, aber wie komme ich dann auch die ganzen x-Werte?
Irgendwie steh ich auf dem schlauch.


O.K.: Noch mal von vorn: Du hast:



Dann willst wissen Kurven-Tangente parallel der X-Achse
=>

Jetzt musst nur noch den Punkt finden wo dies gegeben ist! (Das wird der gleiche sein wie du mit deiner Methode ermittelt hast vermut ich mal (aber deine Methode ist nicht korrekt (es können Fälle eintreten wo dies zu einem falschen ergebnis führt)))!
Und jetzt muss nur noch auflösen (und zwar allgemein nicht mit Zahlenwerte (keine Ahnung wo bei dir da die 1 herkommt))! Dann erhälst ein Ergebnis, da es sich aber um Winkelfunktionen handelt können mehrerere Ergebnisse möglich sein (oder wie in deinem Fall unendlich viele)! Kleiner Tip: (sin(0)=sin(pi)=sin(2*pi)=sin(3*pi)=...=sin(n*pi) n in N)

mfg
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hoch
bcos(t*pi) = sin(t*pi)*pi jetzt quadrieren


Hier hätte ich ganz einfach durch cos(t*pi) geteilt. (Und ich hoffe, dieses pi ist bei dir nicht 3,14..., sondern die ursprünglich hier verwendete Variable a)

Deine weitere Rechnung ist wohl auch richtig, denk ich mal. Es gilt ja auch: arctan(x) = arcsin(x/wurzel(1+x²))

Das t=t0, das du erhältst, musst du in die Funktionen für x(t) und y(t) einsetzen, um den gesuchten Punkt x,y zu erhalten.

Wegen sin(at) = sin(at+2*PI) sind weitere Punkte auch t=t0+2*PI mit PI=3,14....
murray Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von etzwane
Deine weitere Rechnung ist wohl auch richtig, denk ich mal. Es gilt ja auch: arctan(x) = arcsin(x/wurzel(1+x²))

Das t=t0, das du erhältst, musst du in die Funktionen für x(t) und y(t) einsetzen, um den gesuchten Punkt x,y zu erhalten.
...


@etzwane: Da bin ich mir aber nicht soooo sicher Buschmann ! Ich glaube dass die ermittlung mit x'(t) = 0 nicht immer das gleiche Ergebnis liefert wie x'(t)/y'(t)=0
Bei der hier vorliegenden Kurve funktionierts halt, dies ist aber kein Grund diese Methode anzuwenden!

mfg
Jan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von murray
@etzwane: Da bin ich mir aber nicht soooo sicher Buschmann ! Ich glaube dass die ermittlung mit x'(t) = 0 nicht immer das gleiche Ergebnis liefert wie x'(t)/y'(t)=0

aber es gilt doch:

verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Leute, ich habe eure Rechnungen nicht im Detail nachvollzogen, aber eins scheint hoch noch nicht deutlich genug bewusst zu sein, obwohl es schon mehrfach erwähnt wurde:

Zitat:
Original von hoch
es folgt: sin²(t*pi) = b² / [pi²+b²]

es folgt: t=(arcsin(b/wurzel pi²+b²))/pi

oder ist hier schon ein Fehler?


Ja, das ist ein Fehler:

Sowohl ² als auch Sinus sind keine eineindeutigen Funktionen, somit können derartige Gleichungen nicht einfach durch Anwendung der "Umkehrfunktion"(die es da gar nicht gibt!) gelöst werden - es müssen mehrere "Zweige" betrachtet werden, die dann auch zu mehreren Lösungen führen! Im vorliegenden Fall sind das (wie mehrfach angesprochen, aber nie für hoch erklärt) unendlich viele.
hoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent

Sowohl ² als auch Sinus sind keine eineindeutigen Funktionen, somit können derartige Gleichungen nicht einfach durch Anwendung der "Umkehrfunktion"(die es da gar nicht gibt!) gelöst werden - es müssen mehrere "Zweige" betrachtet werden, die dann auch zu mehreren Lösungen führen! Im vorliegenden Fall sind das (wie mehrfach angesprochen, aber nie für hoch erklärt) unendlich viele.


aber ich hab doch die wurzel gezogen bei dem ², dadurch steht ja nur noch der sinus da, oder darf ich das gar nicht?
Und wie komm ich den auf die unterschiedlichen zweige die ich betrachten muss? soll ich zu jedem t wert den ich besitze noch 2 pi hinzuzählen, bevor ich es in meine funktion einsetze, sodass ich wie es bei sin/cos üblich ist ein volle umdrehung bekomme, und dadurch für alle 2 pi ein neuen wert?
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von murray
@etzwane: Da bin ich mir aber nicht soooo sicher Buschmann ! Ich glaube dass die ermittlung mit x'(t) = 0 nicht immer das gleiche Ergebnis liefert wie x'(t)/y'(t)=0
Bei der hier vorliegenden Kurve funktionierts halt, dies ist aber kein Grund diese Methode anzuwenden!


Das gilt natürlich nur, wenn der Nenner nicht gleichzeitig Null ist.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hoch
Und wie komm ich den auf die unterschiedlichen zweige die ich betrachten muss? soll ich zu jedem t wert den ich besitze noch 2 pi hinzuzählen, bevor ich es in meine funktion einsetze, sodass ich wie es bei sin/cos üblich ist ein volle umdrehung bekomme, und dadurch für alle 2 pi ein neuen wert?


Du musst zu dem Argument des sinus bzw. cosinus 2*pi dazuzählen, d.h. a*t2 = a*t1 + 2*pi, um z.B. das nächste Maximum t2 nach t1 zu erhalten, und dies kannst du dann beliebig oft machen.

Stell dir doch einfach mal das Bild der Spirale vor mit mehreren Windungen, oder mach dir eine einfache Skizze, und beachte, dass für a*t =360° eine komplette Umdrehung des Fahrstrahls erfolgt.
murray Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von etzwane
Zitat:
Original von murray
@etzwane: Da bin ich mir aber nicht soooo sicher Buschmann ! Ich glaube dass die ermittlung mit x'(t) = 0 nicht immer das gleiche Ergebnis liefert wie x'(t)/y'(t)=0
Bei der hier vorliegenden Kurve funktionierts halt, dies ist aber kein Grund diese Methode anzuwenden!


Das gilt natürlich nur, wenn der Nenner nicht gleichzeitig Null ist.


Genau darauf wollte ich hinaus! Und das hab ich auch vorher geschildert! Wenn x(t) und y(t) "stehenbleiben"! Dann ist die Berechnung nach hoch´s Art falsch! (Daher würde ich empfehlen es gleich allgemeingültig zu formulieren!)

@Etzwane:
Zitat:
Original von etzwane
Du musst zu dem Argument des sinus bzw. cosinus 2*pi dazuzählen, d.h. a*t2 = a*t1 + 2*pi, um z.B. das nächste Maximum t2 nach t1 zu erhalten, und dies kannst du dann beliebig oft machen.

Stell dir doch einfach mal das Bild der Spirale vor mit mehreren Windungen, oder mach dir eine einfache Skizze, und beachte, dass für a*t =360° eine komplette Umdrehung des Fahrstrahls erfolgt.

Die "Umkehrfunktion" von sin(x)=b ergibt aber pro Periode 2 Lösungen, du hast noch immer nicht alle Lösungen!








mfg
hoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von murray



mfg



und wo genau wende ich die formel von dir dann an?
murray Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertbestimmung bei einer Relation?
Zitat:
Original von hoch
... Wie erhalte ich jedoch die anderen werte. da es eine spirale ist muss es eigentlich ja unendlich viele geben, weil die spirale nie aufhört, ich weiss aber leider nur ...


Also das versteh ich nicht verwirrt ! Ich schreib dir die antwort auf deine Frage und du fragst mich wozu das die antwort ist! Also du hast, wie du selber ja auch schon weisst unendlich viele Lösungen und ich hab dir oben hingeschrieben wie die ermittelst! (x_0 hast ja ermittelt (ich hoffe jetzt aber mit dx/dy=0 und nicht mit dx/dt = 0), und jetzt rechnest, wie ich oben beschrieben habe die anderen x_n aus (=> unendlich vieleLösungen)!)

Es ist ja auch logisch, der sin(x) erreicht zweimal den Gleichen-Y-Wert! Und das wiederholt sich dann periodisch!

mfg
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »