Extremwertbestimmung bei einer Relation? |
13.12.2004, 16:17 | hoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Extremwertbestimmung bei einer Relation? Ich hätte mal eine Frage, und zwar wie bestimme ich die Hochpunkte bei einer Relation. Ich habe eine Spirale (logarithmische Spirale) und muss dort die Extremwerte bestimmen. nun hab ich meine Paramterfunktion dazu: x(t)=a*cos(a*t)*exp(b*t) y(t)=a*sin(a*t)*exp(b*t) diese hab ich jeweils abgeleitet, gleich null gesetzt und nach t aufgelöst. Bei x(t) nach t aufgelöst erhalte ich nun eine Formel die so aussieht: t=(arcsin(b/wurzel pi²+b²))/pi. Nun muss ich den punkt ja um einen Extremwert zu bekommen, in meine eigentliche Funktion einsetzten. Wenn ich dies mache, bekomm ich nun ein X(t) in abhängigkeit von parametern a und b. Wenn ich diese also wähle bekomme ich einen punkt auf der x achse, der sich als extremwert herausstellt. Wie erhalte ich jedoch die anderen werte. da es eine spirale ist muss es eigentlich ja unendlich viele geben, weil die spirale nie aufhört, ich weiss aber leider nur wie ich den einen bekomme, kann mir jemand helfen? |
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13.12.2004, 20:22 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Irgendwie verstehe ich diese Aufgabe nicht. Was meinst du genau mit 'Hochpunkten' ? Da es sich um eine Spirale handelt, kannst du höchstens die Punkte mit horizontaler oder vertikaler Tangente bestimmen. Die Punkte mit Tangente parallel zu x-Achse erhältst du aus dy/dx = 0, entsprechend dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt), also aus dy/dt = 0, und daraus die t usw. War das gemeint ? |
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13.12.2004, 20:28 | hoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja ich suche die punkte die parallel zur x-achse sind, bzw parallel zu y- achse, weiss aber nicht genau wie ich auf alle komme. den einen halt, wie ich es beschrieben habe, oder stimmt das gar nicht und ich muss es ganz anders berechnen? |
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13.12.2004, 20:29 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Extremwertbestimmung bei einer Relation? Man setzt = 0 (a*e^(b*t) fällt weg), jetzt stehen nur noch sin und cos-Funktionen mit der gleichen Kreisfrequenz dar! (Dies bedeutet der Nulldurchgang wird sich unendlich oft wiederholen (alle 360°))! Aber was du mit dem wohl anfangen willst? verwirrt Der Vorschlag von etzwane klingt wesentlich besser! Aber das mit den 360° gilt hier detto! smile Vorallem glaub ich nicht dass deine Lösung stimmt (das mit arcsin (...))! Wenn mal nachdenkts: Wie soll x'(t) =0 und gleichzeitig y'(t)= 0 sein! Das würde bedeuten dass die Funktionen für ein vortlaufendes t mal ganz stehen bleiben würden. (Da muss schon was komplexes rauskommen, damit das möglich sein könnte)! mfg |
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13.12.2004, 21:11 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Damit solltest du das Ergebnis schon ermittelt haben, zur Kontrolle kurz: tan(at) = -a/b zur Ermittlung der Punkte mit Tangenten parallel zur x-Achse tan(at) = b/a zur Ermittlung der Punkte mit Tangenten parallel zur y-Achse Die Punkte liegen also auf 2 Geraden, die durch den Nullpunkt gehen und senkrecht aufeinander stehen. |
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13.12.2004, 21:38 | hoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm, also bezüglich meiner ableitung wäre ich mir schon sicher gewesen: x`(t) = a*cos(t*pi) * [ableitung von exp(bt)] + [ableitung von a*cos(t*pi)] * exp(bt) x`(t) = a*cos(t*pi) * b*exp(bt) + a*(-sin(t*pi)*pi) + exp(bt) es gilt ja: exp(bt) > 0 d.h. entweder a=0 oder eine kombination aus beiden summanden gibt null d.h. a*exp(bt) * [bcos(t*pi) - sin(t*pi)*pi] = 0 also bcos(t*pi) - sin(t*pi)*pi = 0 bcos(t*pi) = sin(t*pi)*pi jetzt quadrieren b²cos²(t*pi) = pi²sin²(t*pi) es gilt: cos² = 1-sin² also b²(1-sin²(t*pi)) = pi²sin²(t*pi) es folgt: b² - b²sin²(t*pi) = pi²sin²(t*pi) es folgt: sin²(t*pi) * [pi²+b²] = b² es folgt: sin²(t*pi) = b² / [pi²+b²] es folgt: t=(arcsin(b/wurzel pi²+b²))/pi oder ist hier schon ein Fehler? Wenn ichs dann also so mache wie du sagst etzwane, geb ich für a und b einen bestimmten wert ein, z.B. jeweils 1 => tan(t)=-1 muss ich nun den tan^-1 von (-1) nehmen um ein t zu bekommen? Soll ich nun das t in die ursprüngliche gleichung einsetzen, aber wie komme ich dann auch die ganzen x-Werte? Irgendwie steh ich auf dem schlauch. |
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13.12.2004, 21:45 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm, was ist hier passier? (da ist mir ein + zuviel) und woher kommt das pi? Also: x(t): a<>0 y(t): a<>0 Gesamt: 1.Gleichung: 2.Gleichung: jetzt Löse ich das Gleichungssystem nach m,n auf (m= sin(a*t) , n=cos(a*t)) 1.Gleichung: 2.Gleichung: => Damit dies für alle Koeffizienten (a,b) gilt! Dann muss aber auch m=0 und da m=sin(a*t) und n=cos(a*t), ist dies nicht möglich (beide können nicht gleichzeitig (für das gleiche t) Null werden) mfg |
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13.12.2004, 22:11 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und ich denke, hier liegt ein Gedankenfehler vor, denn man muss einerseits die 1.Gleichung = 0 setzen, um die Extremwerte in y-Richtung zu erhalten, und andrerseits die 2.Gleichung = 0 setzen, um die Extremwerte in x-Richtung zu erhalten. |
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13.12.2004, 22:20 | hoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
von mir bei meiner rechung oder von murray? |
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13.12.2004, 22:27 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Meine Antwort bezog sich auf @murray. Deine Rechnung habe ich erstmal nicht nachvollziehen wollen, weil du a durch pi ersetzt hattest. Also einen Augenblick bitte. |
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13.12.2004, 22:31 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jo da hast du vollkommen recht! Ich habe auch befürchtet du (hoch) wärst so vorgagengen! Daher auch der ! Das soll eine Antilösung sein Daher auch der Schluss:
Sorry dass ich Verwirrung gestiftet habe mfg |
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13.12.2004, 22:46 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
O.K.: Noch mal von vorn: Du hast: Dann willst wissen Kurven-Tangente parallel der X-Achse => Jetzt musst nur noch den Punkt finden wo dies gegeben ist! (Das wird der gleiche sein wie du mit deiner Methode ermittelt hast vermut ich mal (aber deine Methode ist nicht korrekt (es können Fälle eintreten wo dies zu einem falschen ergebnis führt)))! Und jetzt muss nur noch auflösen (und zwar allgemein nicht mit Zahlenwerte (keine Ahnung wo bei dir da die 1 herkommt))! Dann erhälst ein Ergebnis, da es sich aber um Winkelfunktionen handelt können mehrerere Ergebnisse möglich sein (oder wie in deinem Fall unendlich viele)! Kleiner Tip: (sin(0)=sin(pi)=sin(2*pi)=sin(3*pi)=...=sin(n*pi) n in N) mfg |
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13.12.2004, 22:51 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier hätte ich ganz einfach durch cos(t*pi) geteilt. (Und ich hoffe, dieses pi ist bei dir nicht 3,14..., sondern die ursprünglich hier verwendete Variable a) Deine weitere Rechnung ist wohl auch richtig, denk ich mal. Es gilt ja auch: arctan(x) = arcsin(x/wurzel(1+x²)) Das t=t0, das du erhältst, musst du in die Funktionen für x(t) und y(t) einsetzen, um den gesuchten Punkt x,y zu erhalten. Wegen sin(at) = sin(at+2*PI) sind weitere Punkte auch t=t0+2*PI mit PI=3,14.... |
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13.12.2004, 22:54 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@etzwane: Da bin ich mir aber nicht soooo sicher ! Ich glaube dass die ermittlung mit x'(t) = 0 nicht immer das gleiche Ergebnis liefert wie x'(t)/y'(t)=0 Bei der hier vorliegenden Kurve funktionierts halt, dies ist aber kein Grund diese Methode anzuwenden! mfg |
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14.12.2004, 08:47 | Jan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber es gilt doch: |
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14.12.2004, 09:10 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Leute, ich habe eure Rechnungen nicht im Detail nachvollzogen, aber eins scheint hoch noch nicht deutlich genug bewusst zu sein, obwohl es schon mehrfach erwähnt wurde:
Ja, das ist ein Fehler: Sowohl ² als auch Sinus sind keine eineindeutigen Funktionen, somit können derartige Gleichungen nicht einfach durch Anwendung der "Umkehrfunktion"(die es da gar nicht gibt!) gelöst werden - es müssen mehrere "Zweige" betrachtet werden, die dann auch zu mehreren Lösungen führen! Im vorliegenden Fall sind das (wie mehrfach angesprochen, aber nie für hoch erklärt) unendlich viele. |
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14.12.2004, 14:03 | hoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber ich hab doch die wurzel gezogen bei dem ², dadurch steht ja nur noch der sinus da, oder darf ich das gar nicht? Und wie komm ich den auf die unterschiedlichen zweige die ich betrachten muss? soll ich zu jedem t wert den ich besitze noch 2 pi hinzuzählen, bevor ich es in meine funktion einsetze, sodass ich wie es bei sin/cos üblich ist ein volle umdrehung bekomme, und dadurch für alle 2 pi ein neuen wert? |
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14.12.2004, 16:48 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das gilt natürlich nur, wenn der Nenner nicht gleichzeitig Null ist. |
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14.12.2004, 17:00 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du musst zu dem Argument des sinus bzw. cosinus 2*pi dazuzählen, d.h. a*t2 = a*t1 + 2*pi, um z.B. das nächste Maximum t2 nach t1 zu erhalten, und dies kannst du dann beliebig oft machen. Stell dir doch einfach mal das Bild der Spirale vor mit mehreren Windungen, oder mach dir eine einfache Skizze, und beachte, dass für a*t =360° eine komplette Umdrehung des Fahrstrahls erfolgt. |
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14.12.2004, 19:20 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau darauf wollte ich hinaus! Und das hab ich auch vorher geschildert! Wenn x(t) und y(t) "stehenbleiben"! Dann ist die Berechnung nach hoch´s Art falsch! (Daher würde ich empfehlen es gleich allgemeingültig zu formulieren!) @Etzwane:
Die "Umkehrfunktion" von sin(x)=b ergibt aber pro Periode 2 Lösungen, du hast noch immer nicht alle Lösungen! mfg |
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15.12.2004, 09:27 | hoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
und wo genau wende ich die formel von dir dann an? |
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15.12.2004, 19:20 | murray | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Extremwertbestimmung bei einer Relation?
Also das versteh ich nicht ! Ich schreib dir die antwort auf deine Frage und du fragst mich wozu das die antwort ist! Also du hast, wie du selber ja auch schon weisst unendlich viele Lösungen und ich hab dir oben hingeschrieben wie die ermittelst! (x_0 hast ja ermittelt (ich hoffe jetzt aber mit dx/dy=0 und nicht mit dx/dt = 0), und jetzt rechnest, wie ich oben beschrieben habe die anderen x_n aus (=> unendlich vieleLösungen)!) Es ist ja auch logisch, der sin(x) erreicht zweimal den Gleichen-Y-Wert! Und das wiederholt sich dann periodisch! mfg |
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