Integral (1-e^-x)/(1+e^x)

26.04.2007, 09:00

Hügel

Integral (1-e^-x)/(1+e^x)

Hallo

Ich habe ein Problem mit folgendem Integral.
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \frac{1-e^{-x}}{1+e^x} dx \end{eqnarray*}$

Zuerst habe ich den Bruch mit $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ erweitert, und dann $\begin{eqnarray*} y=e^x \end{eqnarray*}$ substituiert. Dann gilt $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \frac{e^x(1-\frac{1}{e^{x}})}{e^x(1+e^x)} dx = \int_1^{e^2} \frac{(1-\frac{1}{y})}{y(1+y)} dy = \int_1^{e^2}\frac{y-1}{y^2(y+1)} dy \end{eqnarray*}$

Hier würde mit nur die partielle (?) Integration einfallen, mit
$\begin{eqnarray*} u = \frac{1}{y^2+y^3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' = y-1 \end{eqnarray*}$ .

Allerdings sieht das mir etwas zu wild aus, da ich dann habe:
$\begin{eqnarray*} u' = \frac{-2y-3y^2}{(y^2+y^3)^2}, v = 0,5y^2-y \end{eqnarray*}$
Daher denke ich, dass man das ganze sicherlich einfach lösen kann.

Kann mir da jemand einen Tip zu geben? Vielleicht auch schon im ersten Schritt?

Danke
Der Hügel

26.04.2007, 09:18

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Zitat:

Original von Hügel
$\begin{eqnarray*} \int_1^{e^2}\frac{y-1}{y^2(y+1)} dy \end{eqnarray*}$

Hier würde mit nur die partielle (?) Integration einfallen

Mir eher Partialbruchzerlegung, mit der man in solchen Fällen gebrochen rationaler Integranden immer zum Erfolg kommt.

26.04.2007, 09:36

Tjamke

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Hab mal ne Frage zwischendurch...ich hab des in der Schule noch nie gehört: Was heißt denn "partielle (?) Integration"?
Ich hab des hier jetzt schon ein paar mal gelesen und konnt nichts damit anfangen. Danke schon mal! smile