Potenzreihe

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Pascal87 Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe
Hi,
ich möchte den Konvergenzradius eine Potenzreihe ausrechnen, bei der unendlich viele Koeffizienten Null sind. Also als simples Beispiel:


ich könnte die reihe ja auch so schreiben:


Kann ich hier einfach das Quotientenkriterium anwenden? Ich habe einen Thread gefunden, wo das kurz angesprochen wird und es hieß, man muss aufpassen, da man ja durch null teilt. Wenn ich die Reihe jedoch in der Form hab, wie das 1. Beispiel hier, dann besteht diese Gefahr nicht, oder muss ich trotzdem aufpassen?
(Ich finde den besagten Thread nicht mehr)
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe
Zitat:
Original von Pascal87
ich könnte die reihe ja auch so schreiben:


Kann ich hier einfach das Quotientenkriterium anwenden?


Wenn dieses ein brauchbares Ergebnis liefert ... warum nicht?
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RE: Potenzreihe
Zitat:
Original von Pascal87


Ich würde x² = y substituieren und an die e-Funktion denken.

Zitat:
Original von Pascal87
Kann ich hier einfach das Quotientenkriterium anwenden? Ich habe einen Thread gefunden, wo das kurz angesprochen wird und es hieß, man muss aufpassen, da man ja durch null teilt. Wenn ich die Reihe jedoch in der Form hab, wie das 1. Beispiel hier, dann besteht diese Gefahr nicht, oder muss ich trotzdem aufpassen?

Du kannst hier auch das Quotientenkriterium anwenden. Entscheidend ist dabei, daß darauf geachtet wird, daß die Summanden ungleich Null sind.
Pascal87 Auf diesen Beitrag antworten »

Gedacht war auch eher, dass die gegebene Reihe ist.
Man erhält dann für gerade n: und für ungerade n

Wenn ich also die beiden Teilfolgen betrachte, bringt mich die erste nicht weiter. Die zweite sagt ja, dass mein Konvergenzradius für ungerade n Null ist. Das macht keinen Sinn, da die Teilfolge dort Konstant Null ist, dementsprechend müsste der Konvergenzradius unendlich sein... Aber eigentlich ist es doch absoluter Blödsinn, Teilfolgen in der Reihe zu betrachten. Es führt also nichts drum rum, dei Reihe umzuformen, oder gibts noch andere Möglichkeiten?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe
Mit deiner Umformung habe ich eh ein Problem:



Pascal87 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, es müsste dann heißen


Seh ich das also richig, dass ich die Reihe zuerst so schreiben muss, dass keine Null-Summanden mehr auftauchen?
 
 
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So ist es.
Pascal87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ales klar, danke.
Ist der Konvergenzradius dann und spielt das eine Rolle, ob da 2k oder k im Exponent steht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal87
Ist der Konvergenzradius dann

Ja.

Zitat:
Original von Pascal87
... und spielt das eine Rolle, ob da 2k oder k im Exponent steht?

Nur wenn der Konvergenzradius endlich ist.
Pascal87 Auf diesen Beitrag antworten »

aah.. mal angenommen der Konvergenzradius wäre 2, dann wäre die Reihe konvergent für , also für . Ja? Aber das geht im Komplexen schief.... (edit) nein, tuts nicht smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal87
aah.. mal angenommen der Konvergenzradius wäre 2, dann wäre die Reihe konvergent für , also für . Ja?

Genau.
Pascal87 Auf diesen Beitrag antworten »

ich steh irgendwie aufm schlauch. was mach ich, wenn 2n+1 im exponent steht?


Dann kann ich ja nicht substituieren auf die form
.

..außer vielleicht


aber das bringt mir ja nix verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal87
ich steh irgendwie aufm schlauch. was mach ich, wenn 2n+1 im exponent steht?


Elementare Potenzregeln helfen da weiter. Augenzwinkern

Pascal87 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie mach ich dann weiter?
wenn z.B. und
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da würde ich Quotientenkriterium nehmen.
Pascal87 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Frage ist: Wie bestimme ich den Konvergenzradius, nachdem ich schon mittels Quotientenkriterium auf gekommen bin.

Mein Problem ist, dass ich ja eine Potenzreihe der Form brauche, um zu sagen dass der r=1/0.5 ist. Hab ich aber nicht - ich habe
Pascal87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub, ich hab das bisher nicht richtig verstanden. Aber jetzt hats klick gemacht. Stimmt folgendes?

Der Konvergenzkreis sind alle z, für die gilt

Mal schaun, ob ich jetzt weiter komm....

dann versteh ich nämlich auch, warum bei der Konvergenzradius
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ok.
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