sin im komplexen

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kp Auf diesen Beitrag antworten »
sin im komplexen
hallo!
habe hier eine aufgabe, bei der ich einfach keinen ansatz finde, ich hoffe, ihr könnt mir helfen

zu zeigen:
die funktion sin z (im gegensatz zur funktion exp(z) )nimmt jede komplexe zahl als wert an, und zwar unendlich oft

als tipp gab es:
setze und beachte, dass jede quadratische gleichung über C eine lösung in C besitzt

versteh auch nach langem grübeln nicht, wie ich die aufgabe angehen soll und wie man den tipp benutzen muss
wär dankbar für denkanstöße
gruß
kp Auf diesen Beitrag antworten »

soll heißen e hoch iz
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Fang doch mit der Darstellung



an, wobei rechts das von dir genannte eingesetzt wurde. Und jetzt denk nochmal über den Tipp nach...
kp Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die schnelle antwort!
dass heißt dann, dass diese gleichung eine lösung in C besitzt, also

und , wenn ich jetzt das 2. weiter umforme, und wieder zurück ersetze, erhalte ich, dass mein sein muss, mit k aus Z
und diese lösung aufgrund der periodizität vom sin unendlich oft erreicht wird

stimmt das so?
was mache ich denn mit dem ersten term?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ordnest du mal deine Gedanken und erklärst, was du da gerade machst... Irgendwie klingt es so, als sprichst du über die Nullstellen von , also um .

Hier geht es aber um für beliebige komplexe ...
kp Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, war wohl etwas durcheinander geraten

meine gedanken waren folgende:

der tip besagt ja, dass jede quadratische gleichung über C in C eine Lösung besitzt, also muss ja auch die gleichung

eine lösung haben, also müsste diese gleichung doch sein

das ist sie, wenn sowohl als auch ist

dann habe ich versucht, noch etwas umzuformen, mhh... ok, merk grad selber das meine umformungen quatsch waren...
wie komm ich denn jetzt weiter? indem ich die lösungsmenge dieser gleichung bestimme?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst zeigen, dass die Gleichung



für jedes komplexe wenigstens eine komplexe Lösung hat.

Denn für diese Lösung gilt dann auf jeden Fall , und die Rücksubstitution ergibt unendlich viele mit .
kp Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich denke das krieg ich hin, vielen dank für die hilfe!!
k.sinus Auf diesen Beitrag antworten »

ich krieg es ab hier noch nicht ganz weiter...
wie muss man denn jetzt vorgehen? reicht es wenn ich beide seiten quadriere und dann einfach sage: jede quadratische gleichung besitzt eine lösung und somit ein komplexe lösung w?
k.sinus Auf diesen Beitrag antworten »

mhhhh..
ich schätze mein ansatz wird falsch sein, sonst hätte man ja gleich



nehmen können.
es wird wohl irgendeinen vorteil haben es über i*sinh(iz) zu machen, aber ich seh leider nicht welchen...
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