Konvergenz einer Reihe

14.12.2004, 19:21	Kolja	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Hallo Leute, ich soll folgende Reihe auf Konvergenz/divergenz untersuchen. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~(-1)^n2n/(7n+10) \end{eqnarray*}$ Naja Leibnitzkriterium kann ich ja hier nicht anwenden da 2n(7n+10 nicht monoton fallend ist. Die (-1)^n bekomme ich weg indem ich einfach als Majorante (2n/7n+10) (oder den absolutbetrag der Reihe) nehme. Dann müsste ich ja noch zeigen das (2n/7n+10) konvergent ist, was meiner meinung nach nicht gilt. Also müsste diese Reihe doch divergent sein, d.h. ich müsste eine divergente Minorante finden. Hoffe meine überlegungen sind bis jetzt richtig. Nur finde ich keine divergente Minorante. Was tun ?
14.12.2004, 19:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Man sollte auch die wichtigste, absolut notwendige Konvergenzvoraussetzung überprüfen: Dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden.
14.12.2004, 19:39	Kolja	Auf diesen Beitrag antworten »
also hab ich das richtig verstanden? Reihe (ak) konvergiert => ak ist nullfolge (ak) ist keine nullfolge => reihe(ak) nicht konvergent ?
14.12.2004, 19:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »

14.12.2004, 20:05	Kolja	Auf diesen Beitrag antworten »
bin ganz verwirrt. wie zeig ich nun das $\begin{eqnarray} lim_{n\to \infty}(-1)^n2n/(7n+10) \end{eqnarray*}$ ungleich 0 ??
14.12.2004, 20:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem du den Bruch mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ erweiterst.
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14.12.2004, 20:10	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment mal, wo kommt denn plötzlich das Ausrufezeichen "!" her - ist das etwa Fakultät? Dann liegt eine völlig andere Situation vor - das "!" hast du oben unterschlagen. EDIT: OK, jetzt ist es wieder wegeditiert - das sind Schrecksekunden...
14.12.2004, 20:12	Kolja	Auf diesen Beitrag antworten »
nein hab mich vertippt sollte einfach ungleich 0 heißen
14.12.2004, 20:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses Mal sehe ich nichts. Wo ist denn da ein Ausrufezeichen?
14.12.2004, 20:23	Kolja	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (-1)^n2n/(7n+10)=(-1)^n2/(7+(10/n))=(-1)^n2/7 \end{eqnarray*}$ => divergiert beim letzen schritt fällt 10/n weg wegen Grenzwetsätzen.. is das richtig so??
14.12.2004, 20:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, mathematisch "exakt" formuliert hast du die Teilfolge mit geraden Indizes, die gegen 2/7 konvergiert - und die mit ungeraden Indizes, die gegen (-2/7) konvergiert. Wichtig ist natürlich nur, dass es keine Nullfolge ist.
14.12.2004, 20:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Term kannst du das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ nicht einfach weglassen. Du mußt für den Grenzwert dann die Pfeilschreibweise verwenden. Im übrigen gilt das nur für den Betrag des Ausdrucks. $\begin{eqnarray} \left\| \frac{(-1)^n \cdot 2}{7 + \frac{10}{n}}\right\| \to \frac{2}{7} \end{eqnarray}$ Ohne Betragsstriche hat die Folge keinen Grenzwert, sondern zwei Häufungspunkte, nämlich $\begin{eqnarray} \pm \frac{2}{7} \end{eqnarray}$ .
14.12.2004, 20:33	Kolja	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen vielen Dank an euch beide!

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