Abschätzung bei Fibonaccifolge

26.04.2007, 18:53

blub85

Abschätzung bei Fibonaccifolge

Hallo!

In der Uni behandelten wir eine leicht abgeänderte Fibonacci-Folge:

$\begin{eqnarray*} F_{n+1} = F_n + F_{n-2} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollen wir überprüfen, ob folgende Abschätzung gilt:

- $\begin{eqnarray*} L_n \end{eqnarray*}$ sei die Folge -

$\begin{eqnarray*} L_n \leq (\frac32)^n \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich denn da mathematisch vor ? Induktion ?!?

Ich habe mal probeweise Zahlenwerte eingegeben und die bedingung war eigentrlich immer erfüllt, aber dsas ist ja viel zu wenig "Beweis"....

Danke für Eure Hilfe !

Lg!

26.04.2007, 18:57

kiste

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Erstmal brauchst du Startwerte für die Folge. Und ja Induktion wird wahrscheinlich der richtige Weg sein

26.04.2007, 19:16

blub85

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klar, Startwerte habe ich gegeben.

$\begin{eqnarray*} L_n = 0; L_1 = 1; L_2 = 1; L_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Wie ist denn mein Induktionsschritt ?? Also der Ansatz von dem ganzen.. ich komm da nicht wirklich drauf unglücklich

(bin blutiger Anfänger... Gott

)

Eigentlich müsste ich doch

$\begin{eqnarray*} L_{n+1} \leq (\frac32)^{n+1} \end{eqnarray*}$

zeigen (nachdem ich den Induktionsanfag habe..)?!?

Aber vorallem das $\begin{eqnarray*} L_n \end{eqnarray*}$ lässt sich ja wiederum nur mit konkreten Zahlenbeispielen zeigen.

Danek für die Hilfe!

26.04.2007, 19:24

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Zitat:

Original von blub85
Eigentlich müsste ich doch

$\begin{eqnarray*} L_{n+1} \leq (\frac32)^{n+1} \end{eqnarray*}$

zeigen (nachdem ich den Induktionsanfag habe..)?!?

Na dann tu das doch! Induktionsanfang ist hier $\begin{eqnarray*} n=0,1,2 \end{eqnarray*}$ , und Induktionsschluss nicht $\begin{eqnarray*} n\to (n+1) \end{eqnarray*}$ , sondern eher $\begin{eqnarray*} (\leq n) \to (n+1) \end{eqnarray*}$ , denn zur Abschätzung von $\begin{eqnarray*} L_{n+1} \end{eqnarray*}$ greift man ja auch die Induktionsvoraussetzung für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-2) \end{eqnarray*}$ zurück.

26.04.2007, 19:24

therisen

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RE: Abschätzung bei Fibonaccifolge

Zitat:

Original von blub85
Hallo!

In der Uni behandelten wir eine leicht abgeänderte Fibonacci-Folge:

$\begin{eqnarray*} F_{n+1} = F_n + F_{n-2} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollen wir überprüfen, ob folgende Abschätzung gilt:

- $\begin{eqnarray*} L_n \end{eqnarray*}$ sei die Folge -

$\begin{eqnarray*} L_n \leq (\frac32)^n \end{eqnarray*}$

Naja, du weißt (nach Induktionsvoraussetzung), dass gilt: $\begin{eqnarray*} L_{n}\leq\left(\frac32\right)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_{n-2}\leq\left(\frac32\right)^{n-2} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} L_{n+1} = L_n + L_{n-2} = \dots \leq \dots = \dots \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

28.04.2007, 15:24

blub85

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mh, den Ansatz habe ich auf jeden Fall jetzt verstanden. Danke!

Aber wie ich das ganze auszurechnen habe, weiß ich jetzt nicht wirklich. Als kleines Beispiel kann ich euch mal eins aus unserm Skript bringen (an diesem könnt ihr mir das viell. erläutern):

$\begin{eqnarray*} F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \leq (\frac72)^n + (\frac74)^{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\frac74)^n (1+\frac47) \leq (\frac74)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für Eure Mühen!

29.04.2007, 10:41

blub85

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