Stetigkeit im R^n

26.04.2007, 20:45	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit im R^n Guten Abend, ich habe mal eine allgemeine Frage zur Stetigkeit im R^n. Die Definition der Epsilon-Delta-Stetigkeit und Folgenstetigkeit habe ich soweit verstanden, aber nun nehmen wir mal als Beispiele eine Funktion wie: $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2)=0 \end{eqnarray}$ für (0,0) und $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2)=\frac{x_1^2\mid x_2 \mid }{x_1^4+x_2^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x_1,x_2) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ Wie untersuche ich nun diese Funktion bei (0,0) auf Stetigkeit? In R würde ich ja einfach den linken und rechten Grenzwert an der Stelle 0 betrachten und den Funktionswert, stimmen diese überein ist die Funktion stetig! Aber wie überträgt sich das jetzt, wenn man zwei Variablen hat?
26.04.2007, 23:47	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt da ein paar Standardwege. Einer ist zum Beispiel gegen (0,0) laufende Folgen in die Funktion einzusetzen und zu gucken ob der Grenzwert dann mit dem Funktionswert bei (0,0) übereinstimmt. Tut er dies, bist du nicht schlauer also vorher. Tut er dies nicht, weißt du, dass f nicht stetig im Ursprung sein kann. (Tipp: Dieser Weg führt hier auch zum Ziel.)
27.04.2007, 19:01	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es auch noch andere Methoden?!
28.04.2007, 11:30	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich habe das jetzt mal für folgende Funktion versucht: $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{x\mid y \mid }{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ Ich nehme dazu einfach für jede Kompenente die gegen Null konvergierende Folge 1/n her und setze diese ein, heraus kommt, dass diese Folge gegen 1/2 konvergiert. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \pm \infty } f(1/n,1/n)=\lim_{n \to \pm \infty }\frac{1/n\mid 1/n \mid }{1/n^2+1/n^2} = \pm 1/2 \end{eqnarray}$ Stimmt das so? 2) Ich habe noch ein anderes Beispiel wo ich zeigen soll, dass diese Funktion nicht stetig in (0,0) ist, aber 0 als Grenzwert herauskommt. $\begin{eqnarray} g(x,y)=\frac{x^2y }{x^4+y^2} \end{eqnarray}$ Setze ich da jetzt die Folge 1/n ein, steht irgendwann da: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \pm \infty } g(1/n,1/n)=\lim_{n \to \pm \infty }\frac{1/n^21/n}{1/n^4+1/n^2} =\lim_{n \to \pm \infty } \frac{n}{n^2+1}= 0 \end{eqnarray}$ Was mache ich jetzt in diesem Fall? Wie du es beschrieben hast, macht die Folge nun keine Aussage mehr darüber ob die Funktion stetig in (0,0) ist oder nicht. Zu der gleichen Funktion gibt es noch ein t \rightarrow g(ta,tb) mit (a,b) ungleich (0,0), man soll zeigen das diese Funktion stetig füt t=0 ist und alle a,b ungleich null. Also habe ich das ganze einfach eingesetzt: $\begin{eqnarray} g(ta,tb)=\frac{t^3a^2b}{t^2(t^2a^4+b^2)}=\frac{ta^2b}{(t^2a^4+b^2)} \end{eqnarray}$ Für t = 0 sieht man sofort, dass der Zähler Null wird, reicht dies als Begründung? Vielen Dank für euere Mithilfe
29.04.2007, 18:49	Sonja19	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß hier keiner Rat, das Thema würde nämlich auch brennend interessieren. MfG Sonja
29.04.2007, 20:00	Marcyman	Auf diesen Beitrag antworten »
1) ist richtig argumentiert. Zur zweiten Funktion: Einfach mal andere Folgen ausprobieren. Der Zusatzteil ist richtig gelöst. Andere Methoden: Polardoordinatentransformation oder auch direktes Abschätzen helfen oft zum Nachweis der Stetigkeit.
Anzeige

29.04.2007, 21:26	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja cool, danke dir Marcyman, die zweite Folge ist nämlich nicht stetig in (0,0) und deshalb muss es noch ne andere Folge geben bei der man es sieht. Hilft da häufig schon wenn man was am Grad verändert oder? Kannst du mir wenn du zeit und lust hast, dass mit der polarkoordinatentransformation noch erklären? Was für Vorteile bringt die denn?
01.05.2007, 12:57	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe noch zum zusatzteil der 2. Aufgabe eine Frage: Ist das auch mathematisch hieb und stichfest oder würdet ihr es bspw. mit Epsilon-Delta etc. machen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »