Umformung

26.04.2007, 22:18

Umformung

Wieso ist

$\begin{eqnarray*} 1+x+x^2+...+x^9 = \frac{x^{10}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

?

26.04.2007, 22:24

Calvin

Geht mit Polynomdivision. Oder du rechnest umgekehrt $\begin{eqnarray*} (1+x+x^2+\ldots +x^9)\cdot (x-1) \end{eqnarray*}$

Wo genau ist dein Problem?

26.04.2007, 22:25

Musti

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Sorry das ich dazwischen platze aber gilt das für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ verwirrt

26.04.2007, 22:28

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1 ist doch gar keine NST? Kann ich trotzdem Polynomdivision durchführen?

26.04.2007, 22:28

Calvin

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@Musti

Die ursprüngliche Gleichung gilt natürlich nur für $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$

@z7

Natürlich. Polynomdivision ist vollkommen unabhängig von Nullstellen. Wobei x=1 aber trotzdem eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^{10}-1 \end{eqnarray*}$ ist Augenzwinkern

26.04.2007, 22:30

Musti

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Danke Calvin smile

Hab am Anfang die 1 eingesetzt, dabei sieht man das anhand der Definitionsmenge der rechten Gleichung. Augenzwinkern

26.04.2007, 22:31

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Moment. Das ganze basiert auf der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 1+x+x^2+...+x^9 =0 \end{eqnarray*}$

und nicht umgekehrt.

26.04.2007, 22:34

Calvin

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Und was willst du machen? Die Gleichung lösen? Das geht nur mit einem Näherungsverfahren.

Deine Gleichung im ersten Posting stimmt, aber du hast das Problem, dass diese nur für $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ definiert ist. Deshalb kannst du damit die Nullstelle auch nicht ausrechnen.

26.04.2007, 22:36

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Mir geht es immer noch darum wie ich allein ausgehend von

$\begin{eqnarray*} 1+x+x^2+...+x^9 =0 \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} = \frac{x^{10}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$ komme.

26.04.2007, 22:36

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Zitat:

Original von Calvin
Und was willst du machen? Die Gleichung lösen? Das geht nur mit einem Näherungsverfahren.

Tatsächlich? Augenzwinkern

26.04.2007, 22:43

Calvin

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@Arthur

Bis eben war ich mir sicher. Aber gegen dein geübtes Auge habe ich keine Chance Augenzwinkern

Die Lösung läßt sich also erraten Augenzwinkern

@z7

Auf den Zähler kommst du, indem du $\begin{eqnarray*} (x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\cdot(x-1) \end{eqnarray*}$ rechnest. Damit die Gleichung stimmt, musst du natürlich wieder durch x-1 teilen.

Aber warum willst du das machen? verwirrt

Ich weiß im Moment echt nicht, worauf du rauswillst verwirrt

26.04.2007, 22:44

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Gilt denn vielleicht allgemein

$\begin{eqnarray*} k+\sum_{i=1}^n~x^i=\frac{x^n-k}{x-k} \end{eqnarray*}$

?

26.04.2007, 22:50

Calvin

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Nein, so gilt das nicht. Wie man aber leicht zeigen kann, ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Zeigen kannst du es, indem du beide Seiten der Gleichung mit (x-1) multiplizierst.

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