Hochrechnung // Stichprobenumfang

14.12.2004, 20:49	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hochrechnung // Stichprobenumfang Hi, ich soll jemandem für morgen bei den Hausaufgaben helfen und weiß nicht, ob ich noch Zeit dazu haben werde. Ich werde auf alle Fälle noch überlegen, aber wenn sie jemand von euch schneller lösen kann, wäre das wirklich nett. Es sind nicht meine Aufgaben, also darf es auch eine komplette Lösung sein. Danke Auf einer belebten Straße soll der Anteil der Autolenker untersucht werden, die während der Fahrt keinen Sicherheitsgurt tragen. Wieviele Autos muss man mindestens überprüfen, um den unbekannten Anteil p der Gurtmuffel mit eriner Abweichung von höchstens 0,02 mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von mindestens 95 % feststellen zu können? --------------------------- So weit bin ich bislang: $\begin{eqnarray} \mid\frac{X}{n}-p\mid\leq\frac{1,96\sigma}{n} \end{eqnarray}$ zumindest hoffe ich,dass das stimmt. Da ich aber nicht weiß, wie groß $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist, bin ich nicht sicher, was ich für $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ einsetzten soll.
14.12.2004, 21:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hochrechnung // Stichprobenumfang Ist $\begin{eqnarray} \bar{x}_n \end{eqnarray}$ der gemessene Gurtmuffelanteil bei n Überprüfungen, so berechnet sich für große n nach ZGWS das Konfidenzintervall für p gemäß $\begin{eqnarray} P_x\left(\bar{x}_n-\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}z_{1-\frac{\alpha}{2}} < p < \bar{x}_n+\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) = 1-\alpha \end{eqnarray}$ Genaugenommen muss das noch nach p umgestellt werden (quadratische Ungleichung, usw.), aber: Das Konfidenzintervall wird maximal breit, wenn p in der Mitte liegt, also p=1/2. (Bei dir ist $\begin{eqnarray} \alpha=0.05 \end{eqnarray}$ .) D.h., man gewinnt das gewünschte n als Lösung der Ungleichung $\begin{eqnarray} 2\sqrt{\frac{0.5\cdot 0.5}{n}}z_{1-\frac{\alpha}{2}} \leq 0.02 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n\geq\left(\frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}}{0.02}\right)^2=\left(\frac{z_{0.975}}{0.02}\right)^2\approx 9603.6 \end{eqnarray}$ Also braucht man mindestens 9604 Kontrollen.
14.12.2004, 21:45	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hochrechnung // Stichprobenumfang Hmm, jetzt habe ich gedacht, wir würden das selbe ausrechnen, aber... (ich bleibe mal in meiner Notation) $\begin{eqnarray} 1,96\frac{\sigma}{n}\leq0,02 \end{eqnarray}$ 1,96 wegen der 95% (das wird wohl dein z sein) $\begin{eqnarray} 1,96\frac{\sqrt{p(1-p)n}}{n}\leq0,02 \end{eqnarray}$ Das führ mich auf $\begin{eqnarray} n\geq\left(\frac{1,96}{0,02}\right)^2\cdot p(1-p) \end{eqnarray}$ Jetzt hast du Recht, dass das Maximum bei $\begin{eqnarray} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ liegt, aber dann errechne ich $\begin{eqnarray} n=9604\cdot \frac{1}{4}=2401 \end{eqnarray}$ Kann es sein, dass du dich verrechent hast? Denn die 9604 habe ich ja auch in meiner Rechnung.
14.12.2004, 21:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hochrechnung // Stichprobenumfang Du hast Recht - ich habe die 0.02 fälschlicherweise als Breite des Intervalls, d.h. Abstand zwischen minimalen und maximalen p-Wert aufgefasst. Dann sind deine 2401 natürlich richtig.
14.12.2004, 21:52	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hochrechnung // Stichprobenumfang Wir unterscheiden uns (wenn ich dein z richtig interpretiere - ist z=1,96 für 95% ?) durch die 2 vor deiner Wurzel.
14.12.2004, 21:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hochrechnung // Stichprobenumfang Wegen zeitlicher Überschneidung unserer letzten Beiträge - nochmal
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14.12.2004, 21:59	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hochrechnung // Stichprobenumfang Super. Dank dir. Der Tipp mit p=1/2 war sehr hilfreich.

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